【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù),).
(1)當時,若曲線上存在兩點關(guān)于點成中心對稱,求直線的斜率;
(2)在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,極坐標方程為的直線與曲線相交于兩點,若,求實數(shù)的值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)將參數(shù)方程消去參數(shù)得到曲線的普通方程為,由曲線上存在兩點關(guān)于點成中心對稱可得,求得,于是得.(2)將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得,根據(jù)圓的弦長公式可得,即為所求.
詳解:(1)當時,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
消去參數(shù)得,
∴圓心的坐標為.
∵曲線上存在兩點關(guān)于點成中心對稱,
∴,
又,
∴直線的斜率.
(2)由 (為參數(shù),)消去參數(shù)得曲線的普通方程為,
∴圓心的坐標為,半徑為.
又直線的極坐標方程可化為,
故其直角坐標方程為,
又,
∴,
解得.
∴實數(shù)的值為.
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【題目】設(shè)函數(shù) ,且為的極值點.
(Ⅰ) 若為的極大值點,求的單調(diào)區(qū)間(用表示);
(Ⅱ)若恰有1解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某省數(shù)學學業(yè)水平考試成績共分為、、、四個等級,在學業(yè)水平考試成績分布后,從該省某地區(qū)考生中隨機抽取名考生,統(tǒng)計他們的數(shù)學成績,部分數(shù)據(jù)如下:
等級 | ||||
頻數(shù) | ||||
頻率 |
(1)補充完成上述表格的數(shù)據(jù);
(2)現(xiàn)按上述四個等級,用分層抽樣方法從這名考生中抽取名.在這名考生中,從成績?yōu)?/span>等和等的所有考生中隨機抽取名,求至少有名成績?yōu)?/span>等的概率.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸,與直角坐標系xOy取相同的長度單位,建立極坐標系.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的極坐標方程為ρcos=2.
(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程;
(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標方程;
(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標為,求的斜率.
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【題目】已知,函數(shù).
(1)當時,解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,求的值;
(3)設(shè),若在內(nèi)是減函數(shù),對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
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【題目】在測試中,客觀題難題的計算公式為,其中為第題的難度,為答對該題的人數(shù),為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學生進行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了10名學生,將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):
學生 編號 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表,并估計這120名學生中第5題的實測答對人數(shù);
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測答對人數(shù) | |||||
實測難度 |
(2)從編號為1到5的5人中隨機抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;
(3)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度,為第題的預(yù)估難度().規(guī)定:若,則稱該次測試的難度估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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【題目】已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如表1所示.
表1
空氣質(zhì)量等級(空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)) | 頻數(shù) | 頻率 |
優(yōu)() | 83 | 22.8% |
良() | 121 | 33.2% |
輕度污染() | 68 | 18.6% |
中度污染() | 49 | 13.4% |
重度污染() | 30 | 8.2% |
嚴重污染() | 14 | 3.8% |
合計 | 365 | 100% |
2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下:
5月 240 80 56 53 92 126 45 87 56 60
191 62 55 58 56 53 89 90 125 124
103 81 89 44 34 53 79 81 62 116
88
6月 63 92 110 122 102 116 81 163 158 76
33 102 65 53 38 55 52 76 99 127
選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù),并回答下列問題:
(1)分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況.
(2)比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量,哪個月的空氣質(zhì)量較好?
(3)比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量,2016年6月的空氣質(zhì)量是否好于去年?
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