Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為等邊三角形，AB＝ADCD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠PDC＝60°，E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：AD⊥PE.

（2）求直線PA與平面PDE所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°

【解析】

（1）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，EO，通過PO⊥AD，EO⊥AD，推出AD⊥面PEO，即可證明AD⊥PE；

（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，連HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線PA與平面PDE所成角.

（1）證明：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，EO，

由PO⊥AD，EO⊥AD，PO∩EO＝O可知：AD⊥面PEO，且PE面PEO，

則AD⊥PE.

（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

作PQ⊥CD，PH⊥OE，連HQ，因PH⊥平面ABCD，知HQ⊥CD，

由∠PDC＝60°知DQ＝1，OH＝DQ＝1，由，

在Rt△PHO中，可知，則，

A（0，﹣1，0），D（0，1，0），E（3，0，0），

則，

設(shè)平面PDE的一個法向量為，

則，令，得

設(shè)直線PA與平面PDE所成角為θ，則，

則直線PA與平面PDE所成角為60°.