【題目】某學(xué)校實行自主招生,參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機(jī)挑選出4個進(jìn)行作答,至少答對3個才能通過初試.已知甲、乙兩人參加初試,在這8個試題中甲能答對6個,乙能答對每個試題的概率為,且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.

(Ⅰ)求甲通過自主招生初試的概率;

(Ⅱ)試通過概率計算,分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大;

(Ⅲ)記甲答對試題的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(I);(II)甲;(III)詳見解析.

【解析】試題分析:

(1)甲答對三個或四個題目可通過考試,可得甲通過自主招生初試的概率;

(2)計算乙通過考試的概率為,結(jié)合(1)的結(jié)論可知,甲通過自主招生初試的可能性更大.

(3)事件甲答對試題的個數(shù)服從超幾何分布,據(jù)此寫出分布列求解數(shù)學(xué)期望即可.

試題解析:(Ⅰ)依題意,所求概率

(Ⅱ)乙通過自主招生初試的概率

因為,故甲通過自主招生初試的可能性更大.

(Ⅲ)依題意, 的可能取值為2,3,4;

; ;

的分布列為:

2

3

4

所以

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