【題目】函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,求證:.
【答案】(Ⅰ)a≤0時,的單調(diào)遞減區(qū)間是;時,的單調(diào)遞減區(qū)間是,的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ) 證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)求出導數(shù),根據(jù)對的分類討論,找到導數(shù)正負區(qū)間,即可求出;
(2)求出函數(shù)的最小值,轉(zhuǎn)化為證≥,構(gòu)造,求其最小值,即可解決問題.
試題解析:
(Ⅰ).
當a≤0時,,則在上單調(diào)遞減;當時,由解得,由解得.
即在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;
綜上,a≤0時,的單調(diào)遞減區(qū)間是;時,的單調(diào)遞減區(qū)間是,的單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,
則.
要證≥,即證≥,即+≥0,
即證≥.構(gòu)造函數(shù),則,
由解得,由解得,
即在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;
∴ ,
即≥0成立.從而≥成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的,兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元,現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測,生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比,已知每投入千萬元,公司獲得毛收入千萬元;生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為,其圖像如圖所示.
(1)試分別求出生產(chǎn),兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)現(xiàn)在公司準備投入億元資金同時生產(chǎn),兩種芯片,求可以獲得的最大利潤是多少.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的焦點分別為,,離心率,過左焦點的直線與橢圓交于,兩點,,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點的直線與橢圓有兩個不同的交點,,且點在點,之間,試求和面積之比的取值范圍(其中為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】己知直線2x﹣y﹣1=0與直線x﹣2y+1=0交于點P.
(Ⅰ)求過點P且平行于直線3x+4y﹣15=0的直線的方程;(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
(Ⅱ)求過點P并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知五面體ABCDEF中,四邊形CDEF為矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=,.
(1)求證:AB平面ADE;
(2)求平面EBC與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中,,,,,,分別在,上,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)當三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)求經(jīng)過點P(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.
(2)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=2,求圓C的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點.
(1)求證:AE⊥B1C;
(2)求異面直線AE與A1C所成的角的大小;
(3)若G為C1C中點,求二面角C-AG-E的正切值.
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