Question

【題目】已知橢圓（）的焦點(diǎn)分別為，，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且點(diǎn)在點(diǎn)，之間，試求和面積之比的取值范圍（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理將角化為邊，再根據(jù)橢圓定義得，求得，根據(jù)離心率求得，，（2）兩面積之比等于A,B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之比，所以先設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理得，令，消元可得，即. 根據(jù)判別式大于零得.解不等式可得取值范圍

試題解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由橢圓定義得，所以，故，又，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）依題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，

消去x整理得，

由，解得.

設(shè),則

令，則，且.

將代人①②得，消去得，

即.

由，得，所以且,

解得或.

又，∴，故和面積之比的取值范圍為.