Question

【題目】已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4．

（Ⅰ）過(guò)原點(diǎn)O（0，0）作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為H、K，求直線(xiàn)HK的方程；

（Ⅱ）設(shè)定點(diǎn)M（-3，8），動(dòng)點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，以CM，CN為領(lǐng)邊作平行四邊形MCNP，求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅲ）平面上有兩點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|AP|2+|BP|2的最小值；

（Ⅳ）若Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QR，QS分別切圓C于R，S兩點(diǎn)．試問(wèn)：直線(xiàn)RS是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3x+4y-21=0；（Ⅱ）（x+3）2+（y-8）2=4（x）；（Ⅲ）20； （Ⅳ）（3，3）.

【解析】

（Ⅰ）求出圓心坐標(biāo)，寫(xiě)出以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)即可得答案；（Ⅱ）設(shè)、，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出、中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于、和、的式子，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分建立關(guān)系式，解出用、表示、的式子，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入已知圓方程，化簡(jiǎn)即得所求點(diǎn)的軌跡方程，最后檢驗(yàn)去除雜點(diǎn)，可得答案；（Ⅲ）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式，得到的表達(dá)式，即可求得的最小值；（Ⅳ）寫(xiě)出以為直徑的圓的方程，與圓聯(lián)立得：，再由直線(xiàn)系方程得答案．

（Ⅰ）由圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，得圓心C（3，4），

則以O(shè)C為直徑的圓的方程為，

聯(lián)立，得3x+4y-21=0．

∴直線(xiàn)HK的方程為3x+4y-21=0；

（Ⅱ）設(shè)P（x，y），圓上的動(dòng)點(diǎn)N（x0，y0），則

線(xiàn)段CP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

又∵平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，

∴=，=，

可得x0=x+6，y0=y-4．

∵N（x0，y0），即N（x+6，y-4）在圓上，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足圓的方程，

則點(diǎn)P的軌跡方程為：（x+3）2+（y-8）2=4（x）；

（Ⅲ）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P為圓上的點(diǎn)，∴|OP|min=|OC|-r=-2=3，

∴（|AP|2+|BP|2）min=20；

（Ⅳ）由題意∠CSQ=∠CRQ=，則R，S在以QC為直徑的圓上，

設(shè)Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：（x-）2+（y-2）2=，

即x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，

與圓C：x2+y2-6x-8y+21=0聯(lián)立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，

故無(wú)論a取何值時(shí)，直線(xiàn)RS恒過(guò)定點(diǎn)（3，3）．