【題目】已知橢圓C: 的右焦點為,離心率

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)已知動直線l過點F,且與橢圓C交于A,B兩點,試問x軸上是否存在定點M ,使得恒成立?若存在,求出點M的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1);

(2)x軸上存在點,使得恒成立,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)焦點坐標、離心率結(jié)合列式,求得的值,從而求得橢圓的標準方程.

2)假設(shè)軸上存在,使.當直線斜率為時,求得兩點的坐標,利用列方程,解方程求得的值.當直線斜率不存在時,求得兩點的坐標,利用列方程,解方程求得的值.由此判斷,由此求得點坐標,再證當直線斜率存在時,即可.當直線斜率存在時,設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,寫出韋達定理,計算得,由此求得符合題意的點的坐標.

(1)∵ , ∴,

∴ 橢圓方程為

(2)假設(shè)x軸上存在點M(m,0),使得,

①當直線l的斜率為0時, ,,

, 解得

②當直線l的斜率不存在時, ,,

,

解得 ,

由①②可得

下面證明時, 恒成立.

直線l斜率存在時,設(shè)直線方程為.

消y整理得: ,

,,

.

.

綜上,軸上存在點,使得恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在正四面體 ABCD 中,P,Q分別是棱 AB,CD的中點,E,F(xiàn)分別是直線AB,CD上的動點,M 是EF 的中點,則能使點 M 的軌跡是圓的條件是( )

A. PE+QF=2B. PEQF=2

C. PE=2QFD. PE2+QF2=2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點及圓.

1)若直線過點且被圓截得的線段長為的方程;

(2)求過點的圓的弦的中點的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】大學(xué)先修課程,是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程,旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練,為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中成功開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年,共有250人參與學(xué)習(xí)先修課程,這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了高校的自主招生考試(滿分100分),結(jié)果如下表所示:

分數(shù)

人數(shù)

25

50

100

50

25

參加自主招生獲得通過的概率

0.9

0.8

0.6

0.4

0.3

(Ⅰ)這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人,根據(jù)下圖等高條形圖,填寫相應(yīng)列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表檢驗?zāi)芊裨诜稿e的概率不超過0.01的前提下認為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系?

優(yōu)等生

非優(yōu)等生

總計

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

250

沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

總計

150

(Ⅱ)已知今年全校有150名學(xué)生報名學(xué)習(xí)大學(xué)選項課程,并都參加了高校的自主招生考試,以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的概率.

(ⅰ)在今年參與大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中任取一人,求他獲得高校自主招生通過的概率;

(ⅱ)某班有4名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí),設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為,的分布列試估計今年全校參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生獲得高校自主招生通過的人數(shù).

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,,,且,

(1)證明:平面;

(2)在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為?如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(題文)已知是直線上的動點,點的坐標是,過的直線垂直,并且與線段的垂直平分線相交于點 .

(1)求點的軌跡的方程;

(2)設(shè)曲線上的動點關(guān)于軸的對稱點為,點的坐標為,直線與曲線的另一個交點為(不重合),是否存在一個定點,使得三點共線?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:區(qū)間,的長度均為,若不等式的解集是互不相交區(qū)間的并集,設(shè)該不等式的解集中所有區(qū)間的長度之和為,則( )

A. 時,B. 時,

C. 時,D. 時,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,.

(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè),若,為函數(shù)的兩個不同極值點,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校,,的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人).

高校

相關(guān)人員

抽取人數(shù)

A

18

B

36

2

C

54

1)求,

2)若從高校,抽取的人中選2人做專題發(fā)言,求這2人都來自高校的概率.

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