Question

【題目】已知圓與y軸交于O，A兩點(diǎn)，圓C2過(guò)O，A兩點(diǎn)，且直線C2O與圓C1相切；

（1）求圓C2的方程；

（2）若圓C2上一動(dòng)點(diǎn)M，直線MO與圓C1的另一交點(diǎn)為N，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P使得PM=PN始終成立，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且為．

【解析】試題分析：（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．圓C2過(guò)0，A兩點(diǎn)，可設(shè)圓C2的圓心C1（a，2）．直線C2O的方程為：y=x，即x﹣2y=0．利用直線C20與圓C1相切的性質(zhì)即可得出；（2）存在，且為P（3，4）．設(shè)直線OM的方程為：y=kx．代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．可得M的坐標(biāo)．同理可得N的坐標(biāo)．設(shè)P（x，y），線段MN的中點(diǎn)E，利用kPEk=﹣1即可得出．

詳解：

（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．

∵圓C2過(guò)O，A兩點(diǎn)，∴可設(shè)圓C2的圓心C1（a，2）．

直線C2O的方程為：y=x，即x﹣2y=0．

∵直線C2O與圓C1相切，∴=，解得a=﹣1，

∴圓C2的方程為：（x+1）2+（y﹣2）2=，化為：x2+y2+2x﹣4y=0．

（2）存在，且為P（3，4）．

設(shè)直線OM的方程為：y=kx．

代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．

xM=，yM=．

代入圓C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x=0．

xN=，yN=．

設(shè)P（x，y），線段MN的中點(diǎn)E．

則×k=﹣1，

化為：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，

令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．

∴P（3，4）與k無(wú)關(guān)系．

∴在平面內(nèi)是存在定點(diǎn)P（3，4）使得PM=PN始終成立．