Question

如圖，拋物線的頂點在坐標原點，且開口向右，點A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點，直線AB的方程為。
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設點M為某定點，過點M的動直線l與拋物線相交于P，Q兩點，試推斷是否存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）y²＝16x
（Ⅱ）

（Ⅰ）設拋物線方程為，
聯(lián)立消去x，得。                             （2分）
設點，則，
所以。                         （4分）
設點，因為△ABC的重心為，則
，所以。                   （5分）
因為點C在拋物線上，則，解得p＝8，此時。
故拋物線方程為y²＝16x。                                                      （6分）
（Ⅱ）設過定點M的動直線l的方程為，代入拋物線方程y²＝16x，得
，所以。                                      （8分）
若以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則，即。
所以，即，所以.
因為，所以。                                                （10分）
所以直線l的方程為，即，從而直線l必經(jīng)過定點。（11分）
若直線l的斜率不存在，因為直線與拋物線的交點為，此時仍有。故存在定點滿足條件。                               （13分）