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【題目】已知函數f(x)=(x2-ax+a)e-x,a∈R

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區(qū)間;

(Ⅱ)設g(x)=f’(x),其中f’(x)為函數f(x)的導函數.判斷g(x)在定義域內是否為單調函數,并說明理由.

【答案】見解析;(見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)函數求導得f’(x)=-(x-2)(x-a)e-x,討論a2的大小,結合導數的正負討論單調性即可;

(Ⅱ)g’(x)=f(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-xh(x)=x2-(a+4)x+3a+2,通過二次函數的性質知函數有正有負,從而得g(x)在定義域內不為單調函數.

試題解析:

(Ⅰ)函數f(x)的定義域為{x|xR}. .

①當a<2時,令f’(x)<0,解得:x<ax>2,f(x)為減函數;

f’(x)>0,解得:a<x<2,f(x)為增函數.

②當a=2時,f’(x)=-(x-2)2e-x≤0恒成立,函數f(x)為減函數;

③當a>2時,令f’(x)<0,解得:x<2x>a,函數f(x)為減函數;

f’(x)>0,解得:2<x<a,函數f(x)為增函數.

綜上,

a<2時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,a),(2,+∞);單調遞增區(qū)間為(a,2);

a=2時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,+∞)

a>2時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,2),(a,+∞);單調遞增區(qū)間為(2,a).

g(x)在定義域內不為單調函數,以下說明:

g’(x)=f(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x.

h(x)=x2-(a+4)x+3a+2,則函數h(x)為開口向上的二次函數.

方程h(x)=0的判別式△=a2-4a+8=(a-2)2+4>0恒成立.

所以,h(x)有正有負,從而g’(x)有正有負

g(x)在定義域內不為單調函數.

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