【題目】在四棱錐PABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形ABPABC(a0)

(1)當(dāng)a1,求證BDPC;

(2)BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q使得PQQD,求此時二面角APDQ的余弦值

【答案】(1)詳見解析(2)

【解析】試題分析:(1)由已知得PA⊥BD,ABCD是正方形,BD⊥AC,由此能證明BD⊥PC.(2)AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系,利用向量法求出平面PQD的法向量及平面PAD的法向量即可求出二面角A-PD-Q的余弦值.

試題解析:

(1)當(dāng)a1,底面ABCD為正方形,BDAC,

又∵BDPA,BD⊥面PACPCPAC,BDPC.

(2)AB,AD,AP兩兩垂直∴分別以為它們所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示

AB1,可得BCa,B(1,0,0),D(0a,0),C(1a,0),P(0,0,1)

設(shè)BQm,Q(1m,0)(0ma),

要使PQQD,只要·=-1m(am)0

m2am10,Δa240a2,此時m1.

BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得PQQD,

此時,QBC的中點(diǎn),a2,設(shè)平面PQD的法向量p(x,y,1),

解得p(,,1),

取平面PAD的法向量q(1,0,0)

cos<p,q>,

即二面角APDQ的余弦值為.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)e-x,a∈R

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f’(x),其中f’(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).判斷g(x)在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù),并說明理由.

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()求數(shù)列{n·}的前n項(xiàng)和Tn.

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【題目】已知函數(shù),

)求曲線處的切線方程.

)求的單調(diào)區(qū)間.

)設(shè),其中,證明:函數(shù)僅有一個零點(diǎn).

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【題目】對于定義域?yàn)?/span>的函數(shù),若滿足;當(dāng),且時,都有當(dāng),且時, ,則稱偏對稱函數(shù).現(xiàn)給出四個函數(shù):

; ;

;

則其中是偏對稱函數(shù)的函數(shù)為__________

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【題目】已知函數(shù)f(x)=(xa)(xb)(其中ab),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=axb的圖象大致為(  )

A. B. C. D.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.

(1)當(dāng)a>0時,設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)≤0;

(2)求證:對任意的正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<(n+1)n+1.

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【題目】近年來許多地市空氣污染較為嚴(yán)重,現(xiàn)隨機(jī)抽取某市一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的監(jiān)測數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表:

指數(shù)

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

天數(shù)

4

13

18

30

20

15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),指數(shù)為.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時,對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時,對企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失與成直線模型(當(dāng)指數(shù)為150時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為1100元,當(dāng)指數(shù)為200時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為1400元);當(dāng)指數(shù)大于300時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元. 

(1)試寫出的表達(dá)式;

(2)試估計在本年內(nèi)隨機(jī)抽取1天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于1100且不超過1700元的概率;

(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,這30天中有8天為嚴(yán)重污染,完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該市本年度空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)?

非嚴(yán)重污染

嚴(yán)重污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

附:

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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【題目】如圖所示, 與四邊形所在平面垂直,且.

(1)求證: ;

(2)若的中點(diǎn),設(shè)直線與平面所成角為,求.

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