【題目】如圖,在三棱錐中,為的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)若點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析過程;(2).
【解析】
(1)利用勾股定理逆定理可以證明底面直角三角形的性質(zhì),結(jié)合側(cè)棱相等,可以確定是底面的垂線,進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;
(2)由(1)中的線面垂直關(guān)系,可以證明出平面和平面互相垂直,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,結(jié)合線面角的定義,可以求出的長(zhǎng),最后利用異面直線的定義進(jìn)行求解即可.
(1)因?yàn)?/span>,所以有,所以三角形是直角三角形,而為斜邊的中點(diǎn).所以三角形的外心為點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)在底面的射影是底面的外心,因此平面,而平面,因此有;
(2)由(1)可知:平面,而平面,所以平面平面,過作,垂足為,因?yàn)槠矫?/span>平面,所以平面,因?yàn)橹本與平面所成角的正弦值為,所以,設(shè),
所以,因此由,因此有
,根據(jù),可得
或(舍去),故,因此點(diǎn)是線段的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,則有,所以是直線與所成角(或補(bǔ)角),
因?yàn)?/span>,,所以,由余弦定理可知:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
(1)求函數(shù)f(x)在x∈[﹣1,2]上的最大值和最小值;
(2)若對(duì)于任意x∈[﹣1,2]都有f(x)<m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,,平面PAB,D,E分別是AC,BC上的點(diǎn),且平面PAB.
(1)求證平面PDE;
(2)若D為線段AC中點(diǎn),求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù)),曲線C2:(x﹣1)2+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))的圖像與軸交于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)求的值及函數(shù)的極值;
(2)證明:當(dāng)時(shí),;
(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng)時(shí),恒有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個(gè)平面互相垂直,FB∥AE且FB=2EA.
(1)證明:平面EFD⊥平面ABFE;
(2)若AB=2,求多面體ABCDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD//平面BCC1B1,AD⊥DB.求證:
(1)BC//平面ADD1A1;
(2)平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(2b﹣c)cosA=acosC.
(1)求角A;
(2)若△ABC的外接圓面積為π,求△ABC的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,
(1)若,且是的極大值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)當(dāng),時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)根,求正數(shù)的值.
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