【題目】已知函數(shù),其中, , 是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)設函數(shù),證明: .
【答案】(Ⅰ)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導數(shù),根據(jù)導函數(shù)零點情況分類討論:當時,僅有一個零點1;當時,兩個相同的零點;當及時,兩個不同的零點,最后根據(jù)導函數(shù)符號變化規(guī)律確定單調(diào)性,(2)先等價轉(zhuǎn)化所證不等式: ①且②,然后分別利用導數(shù)研究函數(shù)最值: 的最小值為 , 的最小值為
試題解析:(Ⅰ)
(1)當時, ,當, ;當, ;
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)當時,令,得,
由得,由得或,
所以在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(3)當時,令, ,故在上遞增.
(4)當時,令,得,
由得,由得或,
所以在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上,當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
當時, 在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當時, 在上遞增.
當時, 在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ) ①且②
先證①:令,則,
當, , 單調(diào)遞減;當, , 單調(diào)遞增;
所以 ,故①成立!
再證②:由(Ⅰ),當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以 ,故②成立!
綜上, 恒成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大學為調(diào)研學生在, 兩家餐廳用餐的滿意度,從在, 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人,每人分別對這兩家餐廳進行評分,滿分均為60分.
整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以10為組距分成6組: , , , , , ,得到餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖,和餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表:
定義學生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下:
分數(shù) | |||
滿意度指數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在, 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調(diào)查,試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從, 兩家餐廳中選擇一家用餐,你會選擇哪一家?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓與直線相切.
(1)若直線與圓交于兩點,求;
(2)設圓與軸的負半軸的交點為,過點作兩條斜率分別為的直線交圓于兩點,且,試證明直線恒過一定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在拋物線上,且到拋物線的焦點的距離等于2.
求拋物線的方程;
若直線與拋物線相交于兩點,且為坐標原點),求證直線恒過軸上的某定點,并求出該定點坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.
(1)求該幾何體的體積;
(2)求該幾何體的表面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)電飯煲,每年需投入固定成本40萬元,每生產(chǎn)1萬件還需另投入16萬元的變動成本,設該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)電飯煲萬件并全部銷售完,每一萬件的銷售收入為萬元,且(),該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤為(萬元),(注:利潤=銷售收入-成本)
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式,并求年利潤的最大值;
(2)為了讓年利潤不低于2360萬元,求年產(chǎn)量的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),,.
(1)記函數(shù),且,求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若對任意,,,均有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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