Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中點(diǎn)．
（I）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（II）若棱AA₁上存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足B₁M⊥C₁E，求AM的長(zhǎng)；
（Ⅲ）求平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分14分）
（I）證明：連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO，
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為A₁C中點(diǎn)，
又E為CB中點(diǎn)，所以EO為△A₁BC的中位線(xiàn)，
所以EO∥A₁B，…（2分）
又∵EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
所以A₁B∥平面AEC₁．…（4分）
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
所以A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（1，1，0），
設(shè)M（0，0，m），0≤m≤2，所以

B1M

=(-2，0，m-2)，

C1E

=（1，-1，-2），
因?yàn)锽₁M⊥C₁E，所以

B1M

•

C1M

=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)?span >

AE

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，2），
設(shè)平面AEC₁的法向量為

n

=（x，y，z），
則有

AE • n =0 AC1 • n =0

，得

x+y=0 y+z=0

，
令y=-1，則x=1，z=1，所以取

n

=（1，-1，1），…（10分）
因?yàn)锳C⊥平面ABB₁A₁，取平面ABB₁A₁的法向量為

AC

=（0，2，0），…（11分）
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=-

3

3

，…（13分）
平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值為

3

3

．…（14分）