【題目】已知正實數(shù)列a1,a2,…滿足對于每個正整數(shù)k,均有,證明:
(Ⅰ)a1+a2≥2;
(Ⅱ)對于每個正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)利用已知條件可得,然后結(jié)合基本不等式可證;
(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.
證明:(Ⅰ)當(dāng)k=1時,有,即,,
∵,數(shù)列為正實數(shù)列,
由基本不等式1,∴,
∴a1+a2≥2.
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法:
由(Ⅰ)得n=2時,a1+a2≥2,不等式成立;
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時,a1+a2+…+ak≥k成立;
則當(dāng)n=k+1時,a1+a2+…+ak+ak+1≥k,
要證kk+1,即證1,
即為kak≥ak2+k﹣1,即為(ak﹣1)(k﹣1)≥0,
∵k≥2,∴k﹣1≥1,當(dāng)ak﹣1≥0時,a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1,
∴對于每個正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
當(dāng)0<ak<1時,
∵對于每個正整數(shù)k,均有,
∴,則,
a1+a2+…+an+an+1an+1n﹣1+2=n+1.
綜上,對于每個正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
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【題目】已知函數(shù),,(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)在上的最大值.
(2)若,關(guān)于x的方程有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值范圍.
(3)若對任意的、,,不等式都成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】矩形ABCD中,,沿對角線AC將三角形ADC折起,得到四面體,四面體 外接球表面積為,當(dāng)四面體的體積取最大值時,四面體的表面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】《中國詩詞大會》是央視推出的一檔以“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節(jié)目,邀請全國各個年齡段、各個領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識比拼!鞍偃藞F”由一百多位來自全國各地的選手組成,成員上至古稀老人,下至垂髫小兒,人數(shù)按照年齡分組統(tǒng)計如下表:
分組(年齡) | |||
頻數(shù)(人) |
(1)用分層抽樣的方法從“百人團”中抽取人參加挑戰(zhàn),求從這三個不同年齡組中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù);
(2)在(1)中抽出的人中,任選人參加一對一的對抗比賽,求這人來自同一年齡組的概率。
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【題目】已知是橢圓的左、右頂點,為橢圓的左、右焦點,點為橢圓上一點(點在第一象限),線段與圓相切于點,且點為線段的中點.
(1)求線段的長;
(2)求橢圓的離心率;
(3)設(shè)直線交橢圓于兩點(其中點在第一象限),過點作的平行線交橢圓于點,交于點,求.
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【題目】如圖,在棱長均相等的四棱錐中, 為底面正方形的中心, ,分別為側(cè)棱,的中點,有下列結(jié)論正確的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直線與直線所成角的大小為D.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù),).以為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知曲線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,,,,,E為AB的中點.將沿CE折起,使點B到達點F的位置,且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為.
(1)求證:平面平面AEF;
(2)求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.
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