【題目】已知橢圓方程()的離心率為, 短軸長(zhǎng)為2.

(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2) 直線()與軸的交點(diǎn)為(點(diǎn)不在橢圓外), 且與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn). 若線段的中垂線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的下端點(diǎn), 且與線段交于點(diǎn), 求面積的最大值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

利用橢圓方程()的離心率為,短軸長(zhǎng)為,求出,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),表示出的面積,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最值

(1) , 因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2) 易得點(diǎn)的坐標(biāo)為, 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè),的坐標(biāo)分別為, .

聯(lián)立, 得, 從而.

易知線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

縱坐標(biāo)為.

因此, 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題意知: , 即, 從而.

因?yàn)橹本與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 所以, 即. 從而有, 即. 又知, 因此. 由點(diǎn)不在橢圓之外知, . 綜上知, .

故線段的長(zhǎng)度可表示為, 點(diǎn)到線段的距離可表示為. 進(jìn)而的面積可表示為

, 則, 即上單調(diào)遞增.

從而,所以面積的最大值為.

注: 的面積也可用表示為 (), 關(guān)于單調(diào)遞增, 從而, 所以,

所以面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

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(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求回歸直線方程

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(參考公式:,).

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