Question

【題目】設(shè)函數(shù) （為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

試題解析：（1）.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

由可得,

所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）.由1知,時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,

故在內(nèi)不存在極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,

因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),得時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以函數(shù)的最小值為,

函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),

當(dāng)且僅當(dāng),解得.

綜上所述,函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.