【題目】已知函數(shù).

(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)y=x-1;(2);(3).

【解析】試題分析:Ⅰ)當(dāng)時(shí),求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求出,從而求出的值即為切線的斜率,利用點(diǎn)斜式可求出切線方程;
Ⅱ)先求導(dǎo)函數(shù),要使在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需在(0,+∞)內(nèi)恒成立,然后將分離,利用基本不等式可求出的取值范圍;
(III)根據(jù)g(x)在[1,e]上的單調(diào)性求出其值域,然后根據(jù)(II)可求出的最大值,要使在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0,使得成立,只需,x[1,e],然后建立不等式,解之即可求出的取值范圍.

試題解析:

(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù), ∴f(1)=1-1-ln1=0.,

曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f'(1)=1+1-1=1.

從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-0=x-1, 即y=x-1.

(2)

要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立.

即:ax2-x+a≥0得:恒成立.

由于, ∴, ∴

∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(3)∵在[1,e]上是減函數(shù)

∴x=e時(shí),g(x)min=1,x=1時(shí),g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]

f'(x)=令h(x)=ax2-x+a

當(dāng)時(shí),由(II)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),f(1)=0<1

在[1,e]上是減函數(shù),故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]

而f(x)max=f(e)=,g(x)min=1,即≥1

解得a≥ ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,+∞)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.

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【題目】某高中為了解高中學(xué)生的性別和喜愛打籃球是否有關(guān),對(duì)50名高中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜愛打籃球

不喜歡打籃球

合計(jì)

男生

5

女生

10

合計(jì)

已知在這50人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為.

(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)?

附:

7.879

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù), 為其導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí), ,且,則不等式的解集為( )

A. B.

C. D.

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【題目】已知袋中放有形狀大小相同的小球若干,其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球個(gè),從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為,現(xiàn)從袋中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為.

(1)記“”為事件,求事件發(fā)生的概率.

(2)在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù),求事件恒成立”的概率.

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【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)時(shí),車流速度是車流密度的一次函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;

2)當(dāng)車流密度為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1/小時(shí))

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【題目】設(shè)函數(shù)為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.

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【題目】將圓上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,得曲線C.

)寫出C的參數(shù)方程;

)設(shè)直線l C的交點(diǎn)為P1P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1 P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

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