【題目】如圖,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn),已知點(diǎn),過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn), 與關(guān)于軸對稱.
(1)求的方程;
(2)證明: 三點(diǎn)共線.
【答案】(1) .(2)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)由橢圓的離心率為,且過點(diǎn)及可得可組成關(guān)于的方程組,解方程組可得橢圓方程。(2)①當(dāng)直線與軸垂直時,結(jié)論成立;②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程,利用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合斜率公式可得,從而可得結(jié)論成立。
試題解析:
(1)解:由已知得,
解得,
所以橢圓的方程為.
(2)證明:①當(dāng)直線與軸垂直時,顯然有三點(diǎn)共線。
②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為
由,
因為直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),
所以,
設(shè)的坐標(biāo)分別為,
則,
因此,
易知點(diǎn)關(guān)于軸垂直的點(diǎn)的坐標(biāo)為,
又
,
所以,
又, 有公共點(diǎn),
所以三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,如果對任意都有(為常數(shù)),則稱為等差比數(shù)列,稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題:
①等差比數(shù)列的公差比一定不為;
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
③若,則數(shù)列是等差比數(shù)列;
④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列,則其公比等于公差比.
其中正確的命題的序號為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓,經(jīng)過原點(diǎn)的兩直線滿足,且交圓于不同兩點(diǎn)交, 圓于不同兩點(diǎn),記的斜率為
(1)求的取值范圍;
(2)若四邊形為梯形,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),().
(1)當(dāng),且時,求的值域;
(2)若存在實(shí)數(shù)使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè),問是否存在極值,若存在,請求出極值,若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線的斜率為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015 年 12 月,華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”,此輪污染為 2015 年以來最嚴(yán)重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到華中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點(diǎn)圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(提示數(shù)據(jù): )
(2)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為 12 萬輛時的濃度.
參考公式:回歸直線的方程是,
其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水產(chǎn)養(yǎng)殖基地要將一批海鮮用汽車從所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由水產(chǎn)養(yǎng)殖基地承擔(dān).若水產(chǎn)養(yǎng)殖基地恰能在約定日期(×月×日)將海鮮送達(dá),則銷售商一次性支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬元.為保證海鮮新鮮度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送海鮮,已知下表內(nèi)的信息:
統(tǒng)計信息 汽車 行駛路線 | 不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天) | 堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天) | 堵車的概率 | 運(yùn)費(fèi)(萬元) |
公路 | ||||
公路 |
(注:毛利潤銷售商支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的費(fèi)用運(yùn)費(fèi))
(Ⅰ)記汽車走公路時水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤為(單位:萬元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(Ⅱ)假設(shè)你是水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的決策者,你選擇哪條公路運(yùn)送海鮮有可能讓水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤更多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知是正三角形, 平面為的中點(diǎn), 在棱上,且.
(1)求三棱錐的體積;
(2)求證: 平面;
(3)若為中點(diǎn), 在棱上,且,求證: 平面.
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