Question

【題目】在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)

（1）求證：面；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得面，若存在，試確定的值，若不存在說明理由；

（3）在（2）的條件下，求面與面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）存在，（3）

【解析】

(1) 取AB中點(diǎn)N，連接A1N，FN，可證得AE垂直于A1N，而A1NFD是平行四邊形，可得到AE垂直于，再由A1D1 AE可得到線面垂直；（2）取A1B1中點(diǎn)G，取GB1中點(diǎn)M，連接GB，ME，MC1,通過證明線線平行即ME可得到線面平行；（3）建立坐標(biāo)系，求得兩個(gè)面的法向量，先得到余弦值，進(jìn)而得到二面角的正弦值.

(1)證明：取AB中點(diǎn)N，連接A1N，F(xiàn)N，

在正方體AC1中，ANFD，所以四邊形ANFD為平行四邊形，ADFN，

因?yàn)锳1D1AD，所以A1D1 FN，所以四邊形A1NFD1為平行四邊形，A1NFD1

在正方形A1B1BA中，RtEBA≌RtNAA1，所以∠EAB=∠NA1A

因?yàn)椤螦1NA +∠NA1A=90°所以∠A1NA +∠EAB =90°，AEA1N，AE FD1

A1D1面A1B1BA，AE面A1B1BA，所以A1D1 AE，所以AE面A1FD1。

(2) 取A1B1中點(diǎn)G，取GB1中點(diǎn)M，連接GB，ME，MC1,

A1GBN,所以四邊形A1GBN為平行四邊形，A1NBG

E為B1B的中點(diǎn)，M點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，

所以EM∥BG，EM∥FD1

FD1面C1ME，EM面C1ME，所以D1F//面C1ME,

此時(shí)=

(3)如圖分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，

則E(2,0,1),C1(2,2,2),M(,0,2), A1(0,0,2), D1(0,2,2), F(1,2,0)

=(,2,0) =(0,2,1) =(0,2,0) =(-1,0,2)

設(shè)面MEC1的法向量為=(x,y,z)

得令y=1,則x=4,z=2, =(4,1,2)

設(shè)面的法向量為=(x,y,z)

得y=0令z=1,則x=2, =(2,0,1)

cos<>===

設(shè)面A1FD1與面C1ME所成二面角為θ,則|cosθ|=|cos<>|=

所以sinθ==