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【題目】

如圖，⊙O內切于△ABC的邊于D，E，F，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G.

（Ⅰ）求證：圓心O在直線AD上；

（Ⅱ）求證：點C是線段GD的中點.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（1）根據題意，若要證圓心在直線上，只須證直線是的角平分線即可.由已知因為圓是三角形的內切圓，所以，又，所以，又因為，所以，

又因為是等腰三角形，所以是的角平分線，∴圓心在直線上.

（2）若要證點是線段的中點，只須證，由（1）可知，所以若要證，可以考慮先證，即只須證，從而可得證.連接 ，由（I）知， 是圓的直徑， ， ，

又，且與相切于點， ，

， ，∴點 是線段 的中點.

試題解析：

（1） ，又， ，又因為是等腰三角形，所以是的角平分線，∴圓心O在直線AD上.

（2）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，

，又，且與相切于點，

，

∴點C是線段GD的中點.

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