Question

【題目】如圖，是邊長為2的正方形，平面平面，且，是線段的中點，過作直線，是直線上一動點.

（1）求證：；

（2）若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直，求此時二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

（1）先證EO⊥面ABCD，進而可得BC⊥面EOF，從而可證OF⊥BC；

（2）由（1）可得平面，得到、、兩兩垂直，可建立空間直角坐標系，由條件得到，轉化為向量，從而，轉化為關于的方程有唯一實數(shù)解，得到，，又判斷∠BFC為二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夾角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．

（1）因為，是中點，故，

又因為平面平面，平面平面，

故平面，所以；

因為，，所以，

故平面，

所以.

（2）設的中點為，則有，由（1），平面，

所以、、兩兩垂直.可如圖建立空間直角坐標系.

依題意設點的坐標為，點的坐標為，又，，

所以，，

由（1）知，故與平面垂直，等價于，

故，從而，即，

直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直，即關于的方程有唯一實數(shù)解.

所以，解得，此時.

故點的坐標為，點的坐標為.

因為平面，所以且，

所以即二面角的平面角.

因為，，

所以，

即若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直時，

所以二面角的余弦值為.