Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，平面為的中點，，，

（1）證明：平面；

（2）如果二面角的正切值為2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）祥見解析；（2）a=2.

【解析】

試題（1）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，從而證明AD⊥平面PAC．（2）法一，先利用三垂線定理作出二面角M-AC-D的平面角：連結(jié)DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因為M是PD中點，且MG⊥DO，所以G為DO中點，且MG⊥平面ABCD，顯然，∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角.然后在直角三角形MHG中，可用a表示出的正切值，從而由已知即可求出a的值；法二，以OA為x軸，OP為y軸，O為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量知亦可求．

試題解析： （1）證明：由題意，∠ADC=45o，AD=AC =1,故∠DAC=90o

即DA⊥AC.又因為 PO⊥平面ABCD,

所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC 4分

（2）法一：連結(jié)DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因為M是PD中點，且MG⊥DO，所以G為DO中點，且MG⊥平面ABCD，顯然，∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角. 8分

因為GH⊥AO，且G為DO中點，所以，而，故，PO="2MG=2." 12分

法二：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則,，，，

設平面MAC的法向量為，，，則，所以的一個取值為

10分

平面ACD的法向量為.

設二面角的平面角為，

因為，所以

a=2 12分