Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AA1＝2，P為CC1的中點(diǎn).

（1）證明：AB1⊥平面PA1B；

（2）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，線段AB1上是否存在一點(diǎn)Q，使得QE∥平面A1ACC1？若存在，求四棱錐Q﹣AA1C1C的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；體積

【解析】

解法一：（1）證明A1ABB1為正方形，設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)，且A1B⊥AB1.

連接PA，PB1，PO，推出PO⊥AB1，然后證明AB1⊥平面PA1B.

（2）當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，QE∥平面A1ACC1.連接A1C，說明QE∥平面AA1C1C.Q到平面A1ACC1的距離等于B到平面A1ACC1的距離的一半，轉(zhuǎn)化求解幾何體的體積即可.

解法二：（1）證明A1ABB1為正方形，設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)，且A1B⊥AB1.連接B1C交BP于F點(diǎn)，推出BB1⊥平面ABC，AC⊥BB1.結(jié)合AC⊥BC，證明AC⊥平面BB1C1C，證明BP⊥平面AB1C，然后證明A1B⊥平面PA1B.

（2）當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，QE∥平面A1ACC1.

取AB中點(diǎn)M，連接QM，ME，說明Q到平面A1ACC1的距離等于E到平面A1ACC1的距離，利用等體積法轉(zhuǎn)化求解即可.

解法三：（1）設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，說明A1ABB1為正方形，

得到A1B⊥AB1，連接PA，PB1，PO，推出PO⊥AB1，證明PO⊥平面ABB1A1.得到平面PA1B⊥平面ABB1A1.即可證明AB1⊥平面PA1B.（2）同方法一

解：解法一：（1）證明：在△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

又直三梭柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則A1ABB1為正方形，

設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)，且A1B⊥AB1.

連接PA，PB1，PO，

∵側(cè)棱CC1⊥底面ABC，P為CC1的中點(diǎn)，則，，

故PA＝PB1.

∴PO⊥AB1，

∵PO∩A1B＝O，且PO，A1B平面PA1B，

∴AB1⊥平面PA1B.

（2）當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，QE∥平面A1ACC1.

理出如下：

連接A1C，∵E為BC的中點(diǎn)，∴則QE∥A1C，

∵QE平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，

∴QE∥平面AA1C1C.

此時(shí)，Q到平面A1ACC1的距離等于B到平面A1ACC1的距離的一半，

又，

∴.

解法二：（1）證明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則A1ABB1為正方形，

設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)，且A1B⊥AB1.

連接B1C交BP于F點(diǎn)，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

∵AC平面ABC，∴AC⊥BB1.

又AC⊥BC，BC∩BB1＝B，BC，BB1平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C，

∵BP平面BB1C1C，∴AC⊥BP，

在矩形BB1C1C中，P為CC1的中點(diǎn)，則，，

由CC1∥BB1得△CPF∽△BB1F，∴，

∴，，∴PF2+CF2＝PC2，故B1C⊥PB，

又AC⊥BP，AC∩B1C＝C，AC，B1C平面AB1C，∴BP⊥平面AB1C，

∵AB1平面AB1C，∴AB1⊥BP.

又A1B⊥AB1，A1B∩BP＝B，A1B，BP平面PA1B，∴A1B⊥平面PA1B.

（2）當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，QE∥平面A1ACC1.

理由如下：

取AB中點(diǎn)M，連接QM，ME，又CE＝BE，∴ME∥AC，

∵ME平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，

∴ME∥平面A1ACC1.

同理可得QM∥平面A1ACC1.

又∵ME∩QM＝M，ME，QM平面QME，

∴平面QME∥平面A1ACC1，

又∵QE平面QME，

∴QE∥平面A1ACC1.

此時(shí)，Q到平面A1ACC1的距離等于E到平面A1ACC1的距離，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∵BC平面ABC，∴CC1⊥BC，

又AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，

∴EC為四棱錐Q﹣AA1C1C的高，.

∴.

解法三：（1）證明：在△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)O，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，A1ABB1為正方形，

∴O為AB1中點(diǎn)，且A1B⊥AB1.

連接PA，PB1，PO，

∵側(cè)棱CC1⊥底面ABC，P為CC1的中點(diǎn)，則，，

故PA＝PB1.

∴PO⊥AB1，

同理可得PO⊥A1B.

又A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面ABB1A1，PO⊥平面ABB1A1.

∵PO平面PA1B，

∴平面PA1B⊥平面ABB1A1.

∵平面PA1B∩平面ABB1A1＝A1B，AB1平面ABB1A1，

∴AB1⊥平面PA1B.

（2）同方法一