【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若方程只有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性可得時(shí)， ， 時(shí)， ,且，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立，等價(jià)于，先排除，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得，所以.

試題解析：（Ⅰ）由已知.

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

故.

又當(dāng)時(shí)， .

且 （對(duì)足夠小的）.

又當(dāng)時(shí)， .

即所求的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

所以對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立，

等價(jià)于.

∵.

（1）當(dāng)時(shí)， ，與式矛盾，故不合題意.

（2）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

，所以.

綜合（1）（2）知實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線上點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)和為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，證明： （其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知雙曲線的漸近線方程是，右焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為_________，又若點(diǎn)， 是雙曲線的左支上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市小型機(jī)動(dòng)車(chē)駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作①，②，③，④，⑤.

（1）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如表所示），并計(jì)算從恰有2項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)（只測(cè)不合格的項(xiàng)目），求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類(lèi)不超過(guò)3（）項(xiàng)的概率.

（2）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元的報(bào)名費(fèi)，并進(jìn)行1輪測(cè)試（按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行）；如果某項(xiàng)目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行1輪補(bǔ)測(cè)；若第1輪補(bǔ)測(cè)中仍有不合格的項(xiàng)目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若補(bǔ)考則需繳納300元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多2輪補(bǔ)測(cè)機(jī)會(huì)，否則考試結(jié)束；每1輪補(bǔ)測(cè)都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何1輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)中5個(gè)項(xiàng)目均合格，方可通過(guò)“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考1次，某學(xué)院每輪測(cè)試或補(bǔ)考通過(guò)①，②，③，④，⑤各項(xiàng)測(cè)試的概率依次為，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時(shí)會(huì)選擇補(bǔ)考.

①求該學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率；

②求該學(xué)員繳納的考試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過(guò)點(diǎn)的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時(shí)， 取得最大值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（ ）是偶函數(shù)．

（1）求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，其中．若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）解不等式 .

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