Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2﹣ax+a）e﹣x ， a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f'（x），其中f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．判斷g（x）在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，

其導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣（x﹣2）（x﹣a）e﹣x，

①當(dāng)a＜2時(shí)，令f'（x）＜0，解得：x＜a或x＞2，f（x）為減函數(shù)，

令f'（x）＞0，解得：a＜x＜2，f（x）為增函數(shù)；

②當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=﹣（x﹣2）2e﹣x≤0恒成立，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；

③當(dāng)a＞2時(shí)，令f'（x）＜0，解得：x＜2或x＞a，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；

令f'（x）＞0，解得：2＜x＜a，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；

綜上，

當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，a），（2，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，2）；

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）；

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，2），（a，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（2，a）；

（2）g（x）在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù)，

以下說明：g'（x）=f'（x）=[x2﹣（a+4）x+3a+2]e﹣x，

記h（x）=x2﹣（a+4）x+3a+2，則函數(shù)h（x）為開口向上的二次函數(shù)，

方程h（x）=0的判別式△=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4＞0恒成立，

所以，h（x）有正有負(fù)．從而g'（x）有正有負(fù)，

故g（x）在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù).

【解析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特征進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，故可知函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．