【題目】已知拋物線G:x2=2py(p>0),直線y=k(x﹣1)+2與拋物線G相交A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2),過A,B點(diǎn)分別作拋物線G的切線L1 , L2 , 兩切線L1 , L2相交H(x,y),
(1)若k=1,有 L1⊥L2 , 求拋物線G的方程;
(2)若p=2,△ABH的面積為S1 , 直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2 , 證明: 為定值.

【答案】
(1)

解:x2=2py(p>0),即y= ,

導(dǎo)數(shù)為y′= ,切線L1,L2的斜率分別為 , ,

L1⊥L2,可得 =﹣1,

聯(lián)立直線y=x+1和x2=2py(p>0),

可得x2﹣2px﹣2p=0,即有x1x2=﹣2p,

即有﹣p2=﹣2p,解得p=2,

則拋物線G的方程為x2=4y;


(2)

解:證明:將直線y=k(x﹣1)+2代入拋物線方程x2=4y,

可得x2﹣4kx+4k﹣8=0,

即有x1+x2=4k,x1x2=4k﹣8,

x1<x2,可得x2﹣x1= = =4

拋物線的方程為y= x2,求導(dǎo)得y′= x,

過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y﹣y1= x1(x﹣x1),y﹣y2= x2(x﹣x2),

即y= x1x﹣ x12,y= x2x﹣ x22,

解得兩條切線l1、l2的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為( , ),即H(2k,k﹣2).

可得H到直線y=k(x﹣1)+2的距離為d= = ,

|AB|= |x2﹣x1|=4

可得△ABH的面積為S1= d|AB|= 4

=4(k2﹣k+2)

直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2= [k(x﹣1)+2﹣ x2]dx

=[ kx2+(2﹣k)x﹣ x3]| = k(x2﹣x1)(x2+x1)+(2﹣k)(x2﹣x1)﹣ (x2﹣x1)[(x2+x12﹣x1x2]

=(x2﹣x1)[2k2+2﹣k﹣ (16k2﹣4k+8)]=4 (k2﹣k+2)= (k2﹣k+2)

為定值


【解析】(1)求出函數(shù)y= 的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,再將直線y=x+1代入拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,解方程可得p的值,進(jìn)而得到拋物線的方程;(2)將直線y=k(x﹣1)+2代入拋物線方程x2=4y,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,求得|AB|,再由切線的方程求出交點(diǎn)H的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合三角形的面積公式可得S1, 再由直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2= [k(x﹣1)+2﹣ x2]dx,化簡計算即可得到面積的比值為定值.

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年齡

分組

抽取份

數(shù)

答對全卷的人數(shù)

答對全卷的人數(shù)占本組的概率

[20,30)

40

28

0.7

[30,40)

n

27

0.9

[40,50)

10

4

b

[50,60]

20

a

0.1

(1)分別求出n, a, b, c的值;

(2)從年齡在[40,60]答對全卷的人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”,求年齡在[50,60] 的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的概率.

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分?jǐn)?shù)段

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

概率

0.02

0.04

0.17

0.36

0.25

0.15

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(2)求該班成績在[60,100]內(nèi)的概率.

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