Question

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，任意，不等式恒成立時(shí)最大的記為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)后分與兩種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)參變分離與可得,再令,求導(dǎo)得,再分析的單調(diào)性,分,與三種情況求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得的解析式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與范圍即可.

解：（1）∵

∴,∵,

∴①當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,沒有增區(qū)間

②當(dāng)時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為

（2）原不等式.

∵,,∴,

令,

令

在上遞增；

①當(dāng)時(shí),即,∵,所以時(shí),,

∴在上遞增；∴.

②當(dāng),即時(shí),,∴在上遞減；

∴

③當(dāng)時(shí),又在上遞增；

存在唯一實(shí)數(shù),使得,即，

則當(dāng)時(shí).

當(dāng)時(shí).

∴.

∴.

令在上遞增,

,∴.

綜上所述,.