Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 是正三角形，面面， ， ， 和的重心分別為， .

（1）證明： 面；

（2）求與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，由重心性質(zhì)可得， ，推導(dǎo)出出，即可證明面；（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由及，推導(dǎo)出及，再根據(jù)條件寫(xiě)出， ， ，然后求出面的一個(gè)法向量，即可求出與面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，由重心性質(zhì)可知， 分別在， 上且， ，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵，

∴

∴，

又由條件， ， ，

∴， ， .

設(shè)面的法向量為，則

取，則∴，

∴，即所求角的正弦值為.