Question

如圖，已知拋物線的焦點為，過焦點且不平行于軸的動直線交拋物線于，兩點，拋物線在、兩點處的切線交于點.

（Ⅰ）求證：，，三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）可設(shè)直線的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直線的斜率為直線的方程為 同理，直線的方程為  M的橫坐標(biāo)即，，三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列（Ⅱ）32

試題分析：（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，則可設(shè)直線的方程
（），，，

由消去，得，
. ，         2分
由，得，所以，直線的斜率為，
所以，直線的方程為，又，
所以，直線的方程為      ①         4分
同理，直線的方程為      ②          5分
②-①并據(jù)得點M的橫坐標(biāo)，
即，，三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列          7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點M的坐標(biāo)為（2k,-1）().
所以，則直線MF的方程為          8分
設(shè)C(x₃,y₃),D(x₄,y₄), 由消去，得，
，.             9分
又
               10分

         12分
因為，所以，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積的取到最小值         14分
點評：當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程，進而利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求的方法化簡，在求解時弦長公式經(jīng)常用到，本題中函數(shù)在某一點的切線問題要借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率