【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為F,A,過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在第一象限內(nèi)),連結(jié)PA,QF.若,的面積是面積的3倍.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知M為線段PA的中點(diǎn),連結(jié)QA,QM.
①求證:Q,F,M三點(diǎn)共線;
②記直線QP,QM,QA的斜率分別為,,,若,求的面積.
【答案】(1)(2)①見解析②4
【解析】
(1)根據(jù)可得,又的面積是面積的3倍,所以,再聯(lián)立求解基本量即可.
(2) 設(shè),再表示出,關(guān)于的表達(dá)式,化簡證明即可.
(3)由 可得,代入橢圓可得,進(jìn)而求出
(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因?yàn)?/span>,所以.
設(shè),則的面積為.
過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P,Q,
所以,
故的面積為.
因?yàn)?/span>的面積是面積的3倍,
所以,
解得,,,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)①因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,
所以,,
故Q,F,M三點(diǎn)共線.
②因?yàn)?/span>,,,且,
所以
化簡得,
解得或(舍去),
代入中,得
因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi),所以,故.
因?yàn)?/span>M為線段PA的中點(diǎn),所以.
因?yàn)?/span>O為線段PQ的中點(diǎn),
所以,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的斜率時(shí),求的面積;
(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動(dòng)中,工作有序扎實(shí),成效顯著,尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀,深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中,某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問題情況的問卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出a的值;
(2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,設(shè)第2組抽到人,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四面體A-BCD中,已知平面平面BCD,為正三角形,為等腰直角三角形,其中C為直角頂點(diǎn),E,F分別為校AC,AD的中點(diǎn).
(1)求證:平面BEF;
(2)求證:平面ACD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵人機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ;
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計(jì) | |
歲以上(含歲) | |||
歲以下 | |||
總計(jì) |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立,為了深入研究,該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G,F,H分別為BE,BP,PC的中點(diǎn).
(1)求證:平面ABE⊥平面GHF;
(2)求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班同學(xué)在假期進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),對歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次當(dāng)前投資生活方式——“房地產(chǎn)投資”的調(diào)查,得到如下統(tǒng)計(jì)和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)從年齡在歲的“房地產(chǎn)投資”人群中采取分層抽樣法抽取9人參加投資管理學(xué)習(xí)活動(dòng),其中選取3人作為代表發(fā)言,記選取的3名代表中年齡在歲的人數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,平面平面PAD,E是的中點(diǎn),F是DC上一點(diǎn),G是PC上一點(diǎn),且,.
(1)求證:平面平面PAB;
(2)若,,求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某項(xiàng)針對我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的研究中,列出各個(gè)學(xué)段每個(gè)主題所包含的條目數(shù)(如下表),下圖是統(tǒng)計(jì)表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比,按各學(xué)段繪制的等高條形圖,由圖表分析得出以下四個(gè)結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是( )
A.除了“綜合實(shí)踐”外,其它三個(gè)領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加,尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多,約是第二學(xué)段的倍.
B.所有主題中,三個(gè)學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多,占50%,綜合實(shí)踐最少,約占4% .
C.第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多,第三學(xué)段“圖形幾何”條目數(shù)最多.
D.“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長而增長,而其百分比卻一直在減少.“圖形幾何”條目數(shù),百分比都隨學(xué)段的增長而增長.
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