【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,D,E,F(xiàn)分別是B1A1 , CC1 , BC的中點,AE⊥A1B1 , D為棱A1B1上的點.
(1)證明:DF⊥AE;
(2)求平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,
∴AB⊥AE,又∵AB⊥AA1,AE∩AA1=A,
∴AB⊥面A1ACC1,又∵AC面A1ACC1,
∴AB⊥AC,
以A為原點,分別以AB,AC,AA1所在直線為x,y,z軸,
建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),E(0,2,1),F(xiàn)(1,1,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),
設D(x,y,z), =λ ,且λ∈[0,1],
即(x,y,z﹣2)=λ(2,0,0),∴D(2λ,0,2),
∴ =(1﹣2λ,1,﹣2), =(0,2,1),
∵ =0+2﹣2=0,
∴DF⊥AE
(2)解: D(1,0,2),E(0,2,1),F(xiàn)(1,1,1),
=(﹣1,2,﹣1), =(0,1,﹣1),
設平面DEF的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y=1,得 =(1,1,1),
平面ABC的法向量 =(0,0,1),
cos< >= = .
∴平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)推導出AB⊥AE,AB⊥AA1 , 從而AB⊥面A1ACC1 , 由此能證明AB⊥AC,以A為原點,分別以AB,AC,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明DF⊥AE.(2)求出平面DEF的法向量和平面ABC的法向量,利用向量法能求出平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓(a>b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來.(為了方便計算,將2008年編號為1,2009年編號為2,以此類推……)
年份 | ||||||||||
人數(shù) |
(1)根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預測2018年該校考入清華、北大的人數(shù);(結(jié)果要求四舍五入至個位)
(2)從這10年的數(shù)據(jù)中隨機抽取2年,記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年,
求的分布數(shù)列和數(shù)學期望.
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導數(shù)f′(x)< ,則不等式f(x2)< 的解集為 .
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【題目】從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)直方圖求x的值,并估計該小區(qū)100戶居民的月均用電量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)從該小區(qū)已抽取的100戶居民中,隨機抽取月用電量超過250度的3戶,參加節(jié)約用電知識普及講座,其中恰有ξ戶月用電量超過300度,求ξ的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某家具廠有方木料90,五合板600,準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)第張書桌需要方木料O.l,五合板2,生產(chǎn)每個書櫥而要方木料0.2,五合板1,出售一張方桌可獲利潤80元,出售一個書櫥可獲利潤120元.
(1)如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多少?
(2)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b=acosC+3bsin(B+C).
(1)若 ,求角A;
(2)在(1)的條件下,若△ABC的面積為 ,求a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數(shù),若f(x)≤|f( )|對x∈R恒成立,且f( )>f(π),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ﹣ ,kπ](k∈Z)
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