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【題目】（題文）如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內部一點，于，于，且，. 現要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.

（1）設，試將四邊形材料的面積表示為的函數，并指明的取值范圍；

（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.

【答案】(1)見解析;(2)當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.

【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關系，得出和，進而得出四邊形材料的面積的表達式，再結合已知尺寸條件，確定角的范圍.

（2）根據正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數表達式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應的點在上的位置.

詳解：解：（1）在直角中，因為，，

所以，

所以，

在直角中，因為，，

所以，

所以，

所以 ，.

（2）因為 ，

令，由，得，

所以 ，

當且僅當時，即時等號成立，

此時，，，

答：當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，為的中點,為的中點.

(1)求證：平面；

(2)求異面直線與所成角的正切值的大�。�

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【題目】某幾何體的三視圖如圖所示,P是正方形ABCD對角線的交點,G是PB的中點.

(1)根據三視圖,畫出該幾何體的直觀圖.

(2)在直觀圖中,①證明:PD∥平面AGC;

②證明:平面PBD⊥平面AGC.

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【題目】設，數列滿足， .

（Ⅰ）當時，求證：數列為等差數列并求；

（Ⅱ）證明：對于一切正整數，．

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(1)根據三視圖,畫出該幾何體的直觀圖.

(2)在直觀圖中,①證明:PD∥平面AGC;

②證明:平面PBD⊥平面AGC.

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【題目】盒子里放有外形相同且編號為1，2，3，4，5的五個小球，其中1號與2號是黑球，3號、4號與5號是紅球，從中有放回地每次取出1個球，共取兩次.

（1）求取到的2個球中恰好有1個是黑球的概率；

（2）求取到的2個球中至少有1個是紅球的概率.

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【題目】在四棱錐中，平面平面，側面是邊長為的等邊三角形，底面是矩形，且，則該四棱錐外接球的表面積等于__________.

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【題目】已知某山區(qū)小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號按依次增加10進行系統(tǒng)抽樣.

（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數是多少？據此寫出所有被抽出學生的號碼；

（2）分別統(tǒng)計這10名學生的數學成績，獲得成績數據的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；

（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，求被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率．

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【題目】如圖，三棱柱中，側面是邊長為2的菱形，且， ，四棱錐的體積為2，點在平面內的正投影為，且在上，點在線段上，且．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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