Question

【題目】設(shè).

（1）求的反函數(shù)；

（2）討論在上的單調(diào)性，并加以證明；

（3）令，當(dāng)時(shí)，在上的值域是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)令,由求反函數(shù)的規(guī)則解出.

(2)復(fù)合函數(shù),外層函數(shù)的單調(diào)性要由底數(shù)的取值范圍確定,分兩類討論,內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性可由定義法證明,再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可.

(3)分類討論當(dāng)時(shí)，和時(shí)兩種情況,由（2）中單調(diào)性解出的取值范圍，并起來即可得到符合條件的參數(shù)的取值范圍.

(1)令,解得

(2)令，設(shè)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到在上是減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到在上是增函數(shù).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù).

(3)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),

即有得,即,

可知方程的兩個(gè)根均大于1,故有

當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)，

(舍去).

綜上所述：.