Question

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)， 為橢圓的左焦點(diǎn)且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓： （）的頂點(diǎn)可得再由橢圓經(jīng)過點(diǎn)可得 ，從而可得求橢圓的方程；（2）設(shè)直線： ，聯(lián)立： ，得，根據(jù)韋達(dá)定理及三角形面積公式將當(dāng)的面積用 表示，利用基本不等式等號(hào)成立的條件，可得當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求的面積.

試題解析：（1）由已知得

所以的方程為．

（2）由已知結(jié)合（1）得， ， ，

所以設(shè)直線： ，聯(lián)立： ，得，

得，

（），

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 的面積取得最大值，

所以，此時(shí)，

所以直線： ，聯(lián)立，解得，

所以，點(diǎn)到直線： 的距離為，

所以．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.