【題目】已知:如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點F.
求證:BF=AC.

【答案】證明:∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CDA=90°;
∵∠ABC=45°,
∴∠DCB=∠ABC=45°(三角形的內角和定理),
∴DB=DC(等角對等邊);
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠A+∠ABE=90°(直角三角形的兩個銳角互為余角);
∵∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD(同角的余角相等);
在△BDF和△CDA中,
,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC(全等三角形的對應邊相等)
【解析】由已知條件“∠ABC=45°,CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質知:∠DCB=∠ABC
=45°、DB=DC;然后由已知條件“BE⊥AC”求證∠ABE=∠ACD;再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,從而得出BF=AC.

練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點EF . 過點EEGBC , 交ABG , 則圖中相似三角形有(  )
A.4對
B.5對
C.6對
D.7對

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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(1,0),P是第一象限內任意一點,連接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,則我們把(m°,n°)叫做點P 的“雙角坐標”.例如,點(1,1)的“雙角坐標”為(45°,90°).
(1)點( )的“雙角坐標”為;
(2)若點P到x軸的距離為 ,則m+n的最小值為

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【題目】解不等式 ≥1,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

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【題目】拋物線y1=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)與x軸交于A、B兩點,且點A在點B的左側,與y軸交于點C,OB=OC.

(1)求這條拋物線的表達式;
(2)將拋物線y1向左平移n(n>0)個單位,記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P,若點C在直線y2=﹣3x+t上,直線y2向下平移n個單位,當平移后的直線與P有公共點時,求n的取值范圍.

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【題目】研究幾何圖形,我們往往先給出這類圖形的定義,再研究它的性質和判定方法.我們給出如下定義:如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD像這樣兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”;

(1)小文認為菱形是特殊的“箏形”,你認為他的判斷正確嗎?
(2)小文根據(jù)學習幾何圖形的經(jīng)驗,通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法,對AB≠BC的“箏形”的性質和判定方法進行了探究.下面是小文探究的過程,請補充完成:
①他首先發(fā)現(xiàn)了這類“箏形”有一組對角相等,并進行了證明,請你完成小文的證明過程.
已知:如圖,在”箏形”ABCD中,AB=AD,CB=CD.
求證:∠ABC=∠ADC.
證明:②小文由①得到了這類“箏形”角的性質,他進一步探究發(fā)現(xiàn)這類“箏形”還具有其它性質,請再寫出這類“箏形”的一條性質(除“箏形”的定義外);
③繼性質探究后,小文探究了這類“箏形”的判定方法,寫出這類“箏形”的一條判定方法(除“箏形”的定義外):

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點P(﹣1,﹣1).
(1)求此函數(shù)的表達式;
(2)畫出此函數(shù)在第一象限內的圖象.
(3)根據(jù)函數(shù)圖象寫出此函數(shù)的一條性質.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=α,E為對角線AC上的一點(不與A,C重合),將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后,所得射線與直線AD交于F點.試探究線段EB與EF的數(shù)量關系.小宇發(fā)現(xiàn)點E的位置,α和β的大小都不確定,于是他從特殊情況開始進行探究.

(1)如圖1,當α=β=90°時,菱形ABCD是正方形.小宇發(fā)現(xiàn),在正方形中,AC平分∠BAD,作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N.由角平分線的性質可知EM=EN,進而可得△EMF≌△ENB,并由全等三角形的性質得到EB與EF的數(shù)量關系為
(2)如圖2,當α=60°,β=120°時,
①依題意補全圖形;
②請幫小宇繼續(xù)探究(1)的結論是否成立.若成立,請給出證明;若不成立,
請舉出反例說明;
(3)小宇在利用特殊圖形得到了一些結論之后,在此基礎上對一般的圖形進行了探究,設∠ABE=γ,若旋轉后所得的線段EF與EB的數(shù)量關系滿足(1)中的結論,請直接寫出角α,β,γ滿足的關系:

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【題目】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學的驕傲,如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形,設直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若(a+b)2=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為(
A.3
B.4
C.5
D.6

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