【題目】拋物線y=(x﹣3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)連結(jié)BD,CD,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.
①若線段BD上一點(diǎn)P,使∠DCP=∠BDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
②若拋物線上一點(diǎn)M,作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,使∠CMN=∠BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)(1,﹣4);(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(,﹣)或(5,12).
【解析】試題分析:(1)解方程求出或 拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),確定點(diǎn)的坐標(biāo)為 將配方,寫成頂點(diǎn)式為即可確定頂點(diǎn) 的坐標(biāo);
(2)①根據(jù)拋物線得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo).連接BC,過點(diǎn)C作于H,由勾股定理得出證明為直角三角形.
分別延長(zhǎng)與軸相交于點(diǎn) 根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明 得出運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為y=-直線BD的解析式為解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
②分兩種情況進(jìn)行討論:(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí).若點(diǎn)N在射線CD上,如備用圖1,延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)G,先證明由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出.設(shè),再證明均為等腰直角三角形,然后用含的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo),將其代入拋物線求出的值,得到點(diǎn)M的坐標(biāo);若點(diǎn)N在射線DC上,同理可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí).由于得到 根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出 而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有 所以點(diǎn)M不存在.
試題解析:
(1)∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),
∴當(dāng)時(shí),
解得或
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(2)①如右圖.
∵拋物線與與y軸交于點(diǎn)C,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為
∵對(duì)稱軸為直線
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
連接BC,過點(diǎn)C作于H,則H點(diǎn)坐標(biāo)為
為直角三角形.
分別延長(zhǎng)與軸相交于點(diǎn)
即
∴直線CQ的解析式為
直線BD的解析式為
由方程組 解得 .
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
②(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí).
若點(diǎn)在射線上,如備用圖1,延長(zhǎng)MN交軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作軸于點(diǎn).
設(shè) 則
均為等腰直角三角形,
代入拋物線解得
若點(diǎn)N在射線DC上,如備用圖2,MN交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)G.
設(shè) 則
均為等腰直角三角形,
代入拋物線解得
代入拋物線,解得
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí).
而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有
∴點(diǎn)M不存在.
綜上可知,點(diǎn)M坐標(biāo)為或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)如圖,直線和反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn),則落在圖中陰影部分不包含邊界內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè).
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,在下列五個(gè)結(jié)論中: ①abc<0;②4ac﹣b2>0;③a﹣b+c>2;④a<b<0;⑤ac+2=b,
正確的個(gè)數(shù)有________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi):5.2,0,,,+(﹣4),﹣2,﹣(﹣3 ),0.25555…,﹣0.030030003…
(1)分?jǐn)?shù)集合:{_________________________________________ …}
(2)非負(fù)整數(shù)集合:{_________________________________________ …}
(3)有理數(shù)集合:{_________________________________________…}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到3秒鐘時(shí),兩點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)速度比之是3:2(速度單位:1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒).
(1)求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度;
(2)A、B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到3秒時(shí)停止運(yùn)動(dòng),請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出此時(shí)A、B兩點(diǎn)的位置;
(3)若A、B兩點(diǎn)分別從(2)中標(biāo)出的位置再次同時(shí)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的速度不變,運(yùn)動(dòng)的方向不限,問:經(jīng)過幾秒鐘,A、B兩點(diǎn)之間相距4個(gè)單位長(zhǎng)度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
解方程:x4﹣6x2+5=0.這是一個(gè)一元四次方程,根據(jù)該方程的特點(diǎn),它的解法通常是:
設(shè)x2=y,那么x4=y2,于是原方程可變?yōu)?/span>y2﹣6y+5=0…①,
解這個(gè)方程得:y1=1,y2=5.
當(dāng)y=1時(shí),x2=1,∴x=±1;
當(dāng)y=5時(shí),x2=5,∴x=±
所以原方程有四個(gè)根:x1=1,x2=﹣1,x3=,x4=﹣.
在這個(gè)過程中,我們利用換元法達(dá)到降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
(1)解方程(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0時(shí),若設(shè)y=x2﹣x,則原方程可轉(zhuǎn)化為 ;求出x
(2)利用換元法解方程:=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】線段AB和線段CD交于點(diǎn)O,OE平分∠AOC,點(diǎn)F為線段AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A和點(diǎn)O重合)過點(diǎn)F作 FG//OE,交線段CD于點(diǎn)G,若∠AOD=110°,則∠AFG的度數(shù)為_____°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)道路交通安全法第四十七條規(guī)定“機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速行駛;遇行人通過人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行” 如圖:一輛汽車在一個(gè)十字路口遇到行人時(shí)剎車停下,汽車?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是和,如果斑馬線的寬度是米,駕駛員與車頭的距離是米,這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離x是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖一次函數(shù)y1=-x-2與y2=x-4的圖象相交于點(diǎn)A.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若一次函數(shù)y1=-x-2與y2=x-4的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)B、C,求△ABC的面積.
(3)結(jié)合圖象,直接寫出y1>y2時(shí)x的取值范圍.
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