【題目】如圖,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線經(jīng)過點A、B,并與x軸交于另一點C,其頂點為P.
(1)求,的值;
(2)拋物線的對稱軸上有一點Q,使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形,求Q點的坐標;
(3)在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N,使以A,C,M,N為頂點的四邊形為正方形,求此正方形的邊長.
【答案】(1)a,k的值分別為1,﹣1;(2)(2,2);(3)
【解析】
試題分析:(1)先求出直線y=-3x+3與x軸交點A,與y軸交點B的坐標,再將A、B兩點坐標代入y=a(x-2)2+k,得到關于a,k的二元一次方程組,解方程組即可求解;
(2)設Q點的坐標為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點F,過點B作BE垂直于直線x=2于點E.在Rt△AQF與Rt△BQE中,用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3-m)2,解方程求出m=2,即可求得Q點的坐標;
(3)當點N在對稱軸上時,由NC與AC不垂直,得出AC為正方形的對角線,根據(jù)拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì),得到M點與頂點P(2,-1)重合,N點為點P關于x軸的對稱點,此時,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,則四邊形AMCN為正方形,在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長.
試題解析:(1)∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,
∴A(1,0),B(0,3).
又∵拋物線拋物線y=a(x﹣2)2+k經(jīng)過點A(1,0),B(0,3),
∴, 解得,
故a,k的值分別為1,﹣1;
(2)如圖,設Q點的坐標為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點F,
過點B作BE垂直于直線x=2于點E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3﹣m)2,
∴m=2,
∴Q點的坐標為(2,2);
(3)當點N在對稱軸上時,NC與AC不垂直,所以AC應為正方形的對角線.
又∵對稱軸x=2是AC的垂直平分線,M為拋物線上的點.
∴M點與頂點P(2,﹣1)重合,N點為點P關于x軸的對稱點,
其坐標為N(2,1).
此時,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN, ∴四邊形AMCN為正方形.
在Rt△AFN中,AN==,即正方形的邊長為.
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【題目】計算題
(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,它是幾邊形?
(2)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AC邊上的中線把三角形的周長分為24 cm和30 cm的兩部分,求三角形各邊的長.
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【題目】函數(shù)y=﹣2x2先向右平移1個單位,再向下平移2個單位,所得函數(shù)解析式是( )
A. y=﹣2(x﹣1)2+2B. y=﹣2(x﹣1)2﹣2C. y=﹣2(x+1)2+2D. y=﹣2(x+1)2﹣2
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【題目】(1)如圖所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度數(shù);
(2)如果(1)中∠AOB=α,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(3)如果(1)中∠BOC=β(β為銳角),其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(4)從(1)(2)(3)的結果中你能看出什么規(guī)律?
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【題目】中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作.根據(jù)規(guī)劃,“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口約為4400000000人,這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為 ( )
A. B. C. D.
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【題目】(1)如圖1,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內(nèi)部,點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.求證:△ABD≌△CAF;
(2)如圖2,點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,求△ACF與△BDE的面積之和.
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【題目】將△ABC向右平移4個單位長度,再向下平移5個單位長度,
(1)在圖上畫出對應的三角形A1B1C1;
(2)寫出點A1、B1、C1的坐標.
(3)求出△A1B1C1的面積.
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【題目】某商店欲購進甲、乙兩種商品,已知甲的進價是乙的進價的一半,進3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙兩種商品的售價每件分別為80元、130元,該商店決定用不少于6710元且不超過6810元購進這兩種商品共100件.
(1)求這兩種商品的進價;
(2)該商店有幾種進貨方案?哪種進貨方案可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,點D為AB的中點.
(1)如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1s后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā),點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運動,求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?
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