Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

動(dòng)手操作：如圖1，四邊形是一張矩形紙片，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，將分別沿折疊，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處．

探究展示：（1）“刻苦小組”發(fā)現(xiàn)：，且，并展示了如下的證明過程．

證明：在矩形中，，，

又∵，

∴，

∴，，

∵，

∴（依據(jù)1）

∴，

∴（依據(jù)2）

反思交流：①上述證明過程中的“依據(jù)1”與“依據(jù)2”分別指什么？

②“勤奮小組”認(rèn)為：還可以通過證明四邊形是平行四邊形獲證，請(qǐng)你根據(jù)“勤奮小組”的證明思路寫出證明過程．

猜想證明：（2）如圖2，折疊過程中，當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)中，則四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．

聯(lián)想拓廣：（3）如圖3，連接，

①當(dāng)時(shí)，的長為_____________________；

②的長有最小值嗎？若有，請(qǐng)你直接寫出的最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；②詳見解析；（2）四邊形是矩形，詳見解析；（3）①，②的長有最小值，最小值為2，理由見詳解．

【解析】

（1）①填寫相應(yīng)的平行線的性質(zhì)及判定定理即可；

②利用一組對(duì)邊平行且相等證得四邊形是平行四邊形即可；

（2）延長，交于點(diǎn)，由對(duì)折可知，，進(jìn)而可證得，同理，，再由（1）得，幾何折疊性質(zhì)可得，利用等角的余角相等可得，進(jìn)一步得到，最終證得，最后利用有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得四邊形是矩形；

（3）①延長交BC于點(diǎn)H，反向延長交AD于點(diǎn)K，可證得BH=BC=4，進(jìn)而求得，從而可求得，最后設(shè)AE=E=x，在Rt△中，利用勾股定理求得x的值即可；

②連接BD交于點(diǎn)O，通過證四邊形為平行四邊形可得OB=OD=5，，當(dāng)點(diǎn)、與點(diǎn)B、D共線時(shí)，的長可取得最小值，由此可得結(jié)果．

解：（1）①“依據(jù)1”指兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

“依據(jù)2”指同位角相等，兩直線平行；

②證明：在矩形中，，

又∵，

∴，即，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，且；

（2）四邊形是矩形，

證明：延長，交于點(diǎn)，如下圖，

由對(duì)折可知，，

∵，

∴，

同理，，

由（1）得，，

∴，

由對(duì)折可知，，

∴，

在中，，

在矩形中，，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形；

（3）①如圖，延長交BC于點(diǎn)H，反向延長交AD于點(diǎn)K，

∵，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠C=90°，

∴四邊形ABHK和CDKH均為矩形，

∴AK=BH，KD=CH，KH=AB=6，

∵，，，

∴

∴KD=BH，

∴AK=KD=BH =AD=4，

在Rt中，

∴，

設(shè)AE=E=x，則EK=4-x，

在Rt中，，

∴，

解得，

∴AE=；

②如圖，連接BD交于點(diǎn)O，

由（2）得四邊形是矩形，

∴∥，

又∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴OB=OD，，

∵在Rt△ABD中，BD=，

∴OB=OD=5，

又∵6，

∴當(dāng)點(diǎn)、B、O不共線時(shí)＞，

即＞6-5，＞1，

當(dāng)點(diǎn)、B、O共線時(shí)，=，

即=6-5，=1，

∴取得最小值，最小值為1，

又∵，

∴取得最小值，最小值為2．