【題目】如圖,已知AB是⊙O的切線,BC為⊙O的直徑,AC與⊙O交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),PF⊥BC交BC于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)F

(1)求證:ED是⊙O的切線;

(2)求證:△CFP∽△CPD;

(3)如果CF=1,CP=2,sinA=,求O到DC的距離.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)O到DC的距離為

【解析】試題分析:(1)連接OD,證OD⊥DE即可.易證∠ADB=90°,又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得DE=EB.根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可證∠ODE=∠OBE=90°,得證;

(2)可證∠A=∠DBC,所以要求BC需先求DC.結(jié)合已知條件,證明△PDC與△FPC相似.

(3)根據(jù)△PCF∽△DCP,得出CD的長度,進(jìn)而求出O到DC的距離即可.

試題解析:(1)連接OD.

∵BC為直徑,

∴△BDC為直角三角形.

在Rt△ADB中,E為AB中點(diǎn),

∴BE=DE,

∴∠EBD=∠EDB.

又∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,

∵∠OBD+∠ABD=90°,∴∠ODB+∠EDB=90°.

∴ED是⊙O的切線.

(2)∵PF⊥BC,

∴∠FPC=90°﹣∠BCP(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).

∵∠PDC=90°﹣∠PDB(直徑所對的圓周角是直角),∠PDB=∠BCP(同弧所對的圓周角相等),

∴∠FPC=∠PDC(等量代換).

又∵∠PCF是公共角,

∴△PCF∽△DCP.

(3)過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M,

∵△PCF∽△DCP,

∴PC2=CFCD(相似三角形的對應(yīng)邊成比例).

∵CF=1,CP=2,

∴CD=4.

可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=,

=,即=

∴直徑BC=5,

=,

∴MC=2,

∴MO=

∴O到DC的距離為

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