【題目】四邊形 ABCD 中,E 為邊 BC 上一點(diǎn),F 為邊 CD 上一點(diǎn),且∠AEF=90°

1)如圖 1,若 ABCD 為正方形,E BC 中點(diǎn),求證:

2)若 ABCD 為平行四邊形,∠AFE=ADC,

①如圖 2,若∠AFE=60°,求的值;

②如圖 3,若 AB=BCEC=2CF.直接寫(xiě)出 cosAFE 值為   

【答案】1)見(jiàn)解析(23

【解析】

1)如圖1中,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a.只要證明△ABE∽△ECF,可得,求出CF、DF即可解決問(wèn)題;

2)如圖2中,在AD上取一點(diǎn)H,使得FHDF.只要證明△AEF是等邊三角形,推出AF2EF,再證明△AHF∽△FCE,可得ECHFEFAF12;

3)如圖3,作FTFDAD于點(diǎn)T,作FHADH,證△FCE∽△ATF,設(shè)CF2,則CE4,可設(shè)ATx,則TF2x,ADCD2x2DHDT,分別用含x的代數(shù)式表示出∠AFE和∠D的余弦值,列出方程,求出x的值,即可求出結(jié)論.

1)證明:如圖1中,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠C90°,

∵∠AEF90°

∴∠AEB+∠FEC90°,∠FEC+∠EFC90°,

∴∠AEB=∠EFC,

∴△ABE∽△ECF,

BEECa,ABCD2a,

CFa,DFCDCFa,

;

2)如圖2中,在AD上取一點(diǎn)H,使得FHDF,

∵∠AEF90°,∠AFE=∠D60°,

AF2EF,

FHDF,

∴△DHF是等邊三角形,

∴∠FHD60°,

∴∠AHF120°,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC,

∴∠C180°D120°,

∴∠AHF=∠C,

∵∠AFC=∠D+∠FAH=∠EFC+∠AFE,∠AFE=∠D,

∴∠HAF=∠EFC,

∴△AHF∽△FCE,

ECHFEFAF12

;

如圖3,作FTFDAD于點(diǎn)T,作FHADH

則∠FTD=∠FDT,

180°FTD180°D,

∴∠ATF=∠C

又∵∠TAF+∠D=∠AFE+∠CFE,且∠D=∠AFE,

∴∠TAF=∠CFE,

∴△FCE∽△ATF,

,

設(shè)CF2,則CE4,可設(shè)ATx,則TF2x,ADCD2x2,

DHDT,且,

cosAFEcosD,得

解得x6,(x=0舍去)

cosAFE

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