Question

如圖，直線y=-

1

5

x+1與x軸交于B，與y軸交于A，點(diǎn)C在雙曲線y=

k

x

上一點(diǎn)，且△ABC是以AB為底的等腰直角三角形，CD⊥AB于D，M、N分別是AC、BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠MDN=90°．下列結(jié)論：
①k=-4；②AM=CN；③AM²+BN²=MN²；④MN平分∠CND．
其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：首先求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法即可求得直線CD的解析式，然后根據(jù)AC⊥BC，則直線AC與直線BC的解析式的一次項(xiàng)次數(shù)互為負(fù)倒數(shù)即可求得C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得k的值；DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，易證△DEM≌△DFN，則②可以得證，然后利用待定系數(shù)即可證得③是正確的；
利用M，N的特殊位置說明④的正確性．

解答：解：在y=-

1

5

x+1中，令x=0，解得：y=1，則A的坐標(biāo)是（0，1）；
令y=0，解得：x=5，則B的坐標(biāo)是（5，0），
則D的坐標(biāo)是：（

5

2

，

1

2

），
設(shè)直線CD的解析式是y=5x+b，代入（

5

2

，

1

2

）得：

25

2

+b=

1

2

，解得：b=-12，
則函數(shù)的解析式是：y=5x-12，
設(shè)C的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是5m-12，
則AC的斜率是：

5m-13

m

，BC的斜率是：

5m-12

m-5

，
則

5m-13

m

•

5m-12

m-5

=-1，
解得：m=3或2．
則C的坐標(biāo)是：（3，3）（舍去）或（2，-2）．
把（2，-2）代入y=

k

x

得：k=-4．
故①正確；
作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F．
則DE⊥DF，且DE=DF，
∴∠DEF=∠MDN，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM和△DFN中，

∠EDM=∠FDN DE=DF ∠DEM=∠DFN

，
∴△DEM≌△DFN．
∴DM=DM，EM=NF，
又∵等腰直角△ABD中，CD是中線，
∴AE=CE=CF=BF，
∴AM=CN，故②正確；
∵在直角△CMN中，CM²+CN²=MN²，
設(shè)AE=CE=CF=BF=x，EM=FN=y，
則MN²=CM²+CN²=（x-y）²+（x+y）²=2（x²+y²），
AM²+BN²=（x+y）²+（x-y）²=2（x²+y²），
則AM²+BN²=MN²③正確；
當(dāng)N在B點(diǎn)時(shí)，M正好在C點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)MN平分∠CND的情況，故④一定是錯(cuò)誤的；
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確求得C的坐標(biāo)是關(guān)鍵．