Question

【題目】綜合與實(shí)踐四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)

“智慧”數(shù)學(xué)小組在課外數(shù)學(xué)活動(dòng)中研究了一個(gè)問題，請幫他們解答．

任務(wù)一：如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為矩形，連接CG．

請直接寫出CG的長是______．

如圖2，當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)G落在邊AB上時(shí)，請計(jì)算DF與CG的長，通過計(jì)算，試猜想DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系．

當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置時(shí)，中DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？請說明理由．

任務(wù)二：“智慧”數(shù)學(xué)小組對圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究，如圖4，在ABCD中，，，，E，F分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為平行四邊形，連接“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系．

如圖5，當(dāng)AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變時(shí)，“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系請你直接寫出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）．（3）成立，詳見解析.(4).

【解析】

延長EG交CD于H，則四邊形FGHD是矩形在中，利用勾股定理即可解決問題；

作于利用勾股定理相似三角形的性質(zhì)，分別求出CG、DF即可解決問題；

連接AG、只要證明∽，可得即可解決問題；

通過計(jì)算即可解決問題.

如圖1中，延長EG交CD于H，則四邊形FGHD是矩形．

在中，，，

．

故答案為5．

如圖2中，作于P．

在矩形AEGF中，，，

，，

在中，，

由∽，可得，

，

，，，

在中，，

．

成立理由如下：連接AG、AC．

由旋轉(zhuǎn)可知：，

由勾股定理可知：，，

，，

，

∽，

，

．

如圖4中，延長EG交CD于H，作于K．

由題意可知四邊形FGHD是平行四邊形，四邊形AEGF是平行四邊形，

，，，，

在中，，，，

在中，，

．

在圖5中，連接AG、同法可證：∽，可得：，可得．