【題目】已知△ABC是等邊三角形,AD⊥BC于點D,點E是直線AD上的動點,將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接EF、CF、AF.
(1)如圖1,當(dāng)點E在線段AD上時,猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AD的延長線上時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明你的結(jié)論,若不成立,請寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(3)點E在直線AD上運動,當(dāng)△ACF是等腰直角三角形時,請直接寫出∠EBC的度數(shù).
【答案】(1)∠AFC+∠FAC=90°,見解析;(2)仍成立,見解析;(3)15°
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BF,∠EBF=60°,由“SAS”可證△ABE≌△CBF,可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BF,∠EBF=60°,由“SAS”可證△ABE≌△CBF,可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(3)由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.
解:(1)∠AFC+∠FAC=90°,
理由如下:連接AF,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=30°,
∵將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,
∴BE=BF,∠EBF=60°,
∴∠EBF=∠ABC,
∴∠ABE=∠FBC,且AB=BC,BE=BF,
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°;
(2)結(jié)論仍然成立,
理由如下:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=30°,
∵將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,
∴BE=BF,∠EBF=60°,
∴∠EBF=∠ABC,
∴∠ABE=∠FBC,且AB=BC,BE=BF,
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°;
(3)∵△ACF是等腰直角三角形,
∴AC=CF,
∵△ABE≌△CBF,
∴CF=AE,
∴AC=AE=AB,
∴∠ABE==75°,
∴∠EBC=∠ABE﹣∠ABC=15°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),拋物線的對稱軸x=1,與y軸交于C(0,﹣3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式及A、B點的坐標(biāo).
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形;若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大;求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=,D、E分別在邊AC、BC上,CD=1,DE∥AB,將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后點D、E對應(yīng)的點分別為D′、E′,當(dāng)點E′落在線段AD′上時,連接BE′,此時BE′的長為( )
A.2B.3C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A(﹣3,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)求過B、C兩點的直線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點.過點P作PM⊥x軸,垂足為點M,PM交BC于點Q.試探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C,D為上的點,且=,延長AD,BC相交于點E,連接OD交AC于點F.
(1)求證:△ABC≌△AEC;
(2)若OA=3,BC=4,求AD的長.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品,整理出該商品在第()天的售價與函數(shù)關(guān)系如圖所示,已知該商品的進(jìn)價為每件30元,第天的銷售量為件.
(1)試求出售價與之間的函數(shù)關(guān)系是;
(2)請求出該商品在銷售過程中的最大利潤;
(3)在該商品銷售過程中,試求出利潤不低于3600元的的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線的對稱軸是直線,且與軸相交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標(biāo);
(2)若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點(不與B,C重合),則是否存在一點P,使△BPC的面積最大?若存在,請求出△BPC的最大面積;若不存在,試說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,以AB為直徑的⊙O交BC于點F,連結(jié)OC,過點B作BD∥OC交⊙O點D.連接AD交OC于點E
(1)求證:BD=AE.
(2)若OE=1,求DF的值.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B兩點,與y軸交于點C(0,3),拋物線的頂點在直線x=1上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點,過點P做PQ∥y軸交BC與點Q,當(dāng)點P在何位置時,線段PQ的長度有最大值?
(3)點M在x軸上,點N在拋物線對稱軸上,是否存在點M,點N,使以點M,N,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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