Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)在直線x＝1上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做PQ∥y軸交BC與點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，線段PQ的長度有最大值？

（3）點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，點(diǎn)N，使以點(diǎn)M，N，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）

【解析】

（1）點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)在直線x＝1上，則c＝3，點(diǎn)B（3，0），故拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，﹣t+3）．則PQ＝﹣t2+3t，即可求解；

（3）分BC是平行四邊形的邊、BC是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在直線x＝1上，

∴點(diǎn)B（3，0），

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），

∴c＝3，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

∴﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得： ，

解得，

直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3）．

∴PQ＝﹣t2+3t=，

∴當(dāng)t＝時(shí)，PQ長度的最大值為，

此時(shí)﹣t2+2t+3＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）設(shè)點(diǎn)M（m，0）、點(diǎn)N（1，n），點(diǎn)C（0，3）、點(diǎn)B（3，0），

①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，

點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到B，

同理點(diǎn)C（B）向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到B（C），

即1+3＝m或1﹣3＝m，解得：m＝4或﹣2；

②當(dāng)BC是平行四邊形的對角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：1+m＝3，解得：m＝2，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．