【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的直角邊AC在x軸上,∠ACB=90°,AC=1,反比例函數(shù)(k>0)的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D(3,1).
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若△ABC與△EFG成中心對稱,且△EFG的邊FG在y軸的正半軸上,點(diǎn)E在這個(gè)函數(shù)的圖象上.
①求OF的長;
②連接AF,BE,證明四邊形ABEF是正方形.
【答案】(1);(2)①1;②證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得k的值,可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)①由中心對稱的性質(zhì)可知△ABC≌△EFG,由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得B點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得BC和AC的長,由全等三角形的性質(zhì)可求得GE和GF,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得OF的長;②由條件可證得△AOF≌△FGE,則可證得AF=EF=AB,且∠EFA=∠FAB=90°,則可證得四邊形ABEF為正方形.
試題解析:
(1)∵反比例函數(shù)(k>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(3,1),∴k=3×1=3,∴反比例函數(shù)表達(dá)式為;
(2)①∵D為BC的中點(diǎn),∴BC=2,∵△ABC與△EFG成中心對稱,∴△ABC≌△EFG,∴GF=BC=2,GE=AC=1,∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上,∴E(1,3),即OG=3,∴OF=OG﹣GF=1;
②如圖,連接AF、BE,∵AC=1,OC=3,∴OA=GF=2,在△AOF和△FGE中,∵AO=FG,∠AOF=∠FGE,OF=GE,∴△AOF≌△FGE(SAS),∴∠GFE=∠FAO=∠ABC,∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°,∴EF∥AB,且EF=AB,∴四邊形ABEF為平行四邊形,∴AF=EF,∴四邊形ABEF為菱形,∵AF⊥EF,∴四邊形ABEF為正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為創(chuàng)建全國文明城市,開展“美化綠化城市”活動(dòng),計(jì)劃經(jīng)過若干年使城區(qū)綠化總面積新增360萬平方米.自2013年初開始實(shí)施后,實(shí)際每年綠化面積是原計(jì)劃的1.6倍,這樣可提前4年完成任務(wù).
(1)問實(shí)際每年綠化面積多少萬平方米?
(2)為加大創(chuàng)城力度,市政府決定從2016年起加快綠化速度,要求不超過2年完成,那么實(shí)際平均每年綠化面積至少還要增加多少萬平方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解.并規(guī)定:F(n)=.
例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因?yàn)?2﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方,我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).
求證:對任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”;
(3)在(2)所得“吉祥數(shù)”中,求F(t)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D,分別交AC,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【感知】如圖①,四邊形ABCD、CEFG均為正方形.可知BE=DG. 【拓展】如圖②,四邊形ABCD、CEFG均為菱形,且∠A=∠F.求證:BE=DG.
【應(yīng)用】如圖③,四邊形ABCD、CEFG均為菱形,點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)G在AD延長線上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面積為8,則菱形CEFG的面積為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某小區(qū)家庭用電情況,小明隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)n戶家庭2017年4月的用電量(用電量的數(shù)據(jù)都是整數(shù)),并將所得整數(shù)繪制成頻數(shù)分布直方圖如圖①所示.
(1)求n的值,
(2)小明將所得數(shù)據(jù)按每戶用電量x(度)大小分為三檔,①低檔:121≤x≤160,②中檔:161≤x≤200,③高檔:201≤x≤240,并繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖②所示,請幫助他將扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)該地區(qū)對居民用電實(shí)行“階梯收費(fèi)”,規(guī)定:用電量不超過200度按第一階梯電價(jià)收費(fèi),超過200度的部分按第二階梯電價(jià)收費(fèi),根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果,估計(jì)2017年4月該小區(qū)300戶家庭僅按第一階梯電價(jià)收費(fèi)額戶數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC.點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),連接PQ,過點(diǎn)Q作QD⊥x軸,與拋物線交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E.連接PD,與BC交于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒().
(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式.
(2)①直接寫出P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡).
②在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)PQ=PD時(shí),求的值.
(3)試探究在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn).若存在,請直接寫出此時(shí)的值與點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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