【題目】綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“折紙”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，有一張長(zhǎng)為4，寬為3的矩形紙片（）．

操作發(fā)現(xiàn)

（1）快樂(lè)小組先將圖1中的矩形紙片沿直線折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到圖2，他們發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；

（2）創(chuàng)新小組將圖2中的矩形紙片展開(kāi)后繼續(xù)折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕為，得到圖3，則折痕__________；

實(shí)踐探究

（3）前進(jìn)小組在創(chuàng)新小組的操作基礎(chǔ)上，將圖3中的紙片展開(kāi)，再將矩形紙片沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，然后將紙片展平．如圖4所示，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試判斷的形狀并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）為等腰三角形，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用矩形和折疊的性質(zhì)分別得到，，，，然后根據(jù)AAS定理證明，從而求證；

（2）根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，設(shè)AF=FG=x，然后利用折疊的性質(zhì)及勾股定理列方程求出AF的值，最后再利用勾股定理求BF；

（3）利用折疊的性質(zhì)得到垂直平分，從而得到及，然后利用等角對(duì)等邊判定三角形的形狀．

解：（1）如圖2，四邊形為矩形，

，，

由折疊得，，

，

在和中，

，

；

（2）如圖3，由題意可知：AB=BG=3，AD=4，∠A=∠FGB=90°

∴BD=

∴DG=BD-BG=5-3=2

設(shè)AF=FG=x，則DF=4-x

在Rt△FGD中，

解得：

在Rt△ABF中，

故答案為：；

（3）如圖4，為等腰三角形．

理由如下：

折疊得到，

垂直平分，

．

又，

，

．

又折疊得到，

，

，

，

為等腰三角形．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）當(dāng)△ADB∽△EAC 時(shí)，求∠DAE 的度數(shù)．

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（1）求直線BD的解析式；

（2）點(diǎn)E是直線AD上一點(diǎn)，連接BE，以BE，ED為一組鄰邊作BEDF，當(dāng)BEDF的面積為3時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將△DAC沿x軸向左平移，平移距離大于0，記平移后的△DAC為△D′A′C′，連接D′A，D′B，當(dāng)△D′AB為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D′的坐標(biāo)．

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(1)求拋物線的解析式；

(2)求PE的長(zhǎng)最大時(shí)m的值．

(3)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，在(2)的情況下，以PQCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形是否存在？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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