Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，E，F分別是AB，AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線EF上，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q把線段EC分成的兩線段之比是1：2時(shí)，線段EP、BP滿足的數(shù)量關(guān)系是__________________________．

Answer 1

【答案】或.

【解析】

根據(jù)題意，點(diǎn)Q把線段EC分成的兩線段之比是1：2時(shí)，則可以分為兩類進(jìn)行討論：①，②；利用相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案.

解：根據(jù)題意，∵E，F分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥BC，

∴△EGQ∽△CBQ，∠PGB=∠CBG，

∴.

∵BQ平分∠CBP，

∴∠PBG=∠CBG，

∴∠PGB=∠PBG，

∴BP=PG，

∵GE=EP+PG，

∴GE=EP+BP.

∵點(diǎn)Q把線段EC分成的兩線段之比是1：2，

∴或；

①當(dāng)時(shí)，如圖：

，

∴，

∴，

∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖：

，

∴，

∴，

∴；

∴故答案為：或.