【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點(diǎn)A,O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A′,O′,記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)如圖①,若α=90°,求AA′的長;
(2)如圖②,若α=120°,求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(3)在(Ⅱ)的條件下,邊OA上 的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P′,當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí),求點(diǎn)P′的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)
【答案】
(1)
解:如圖①,
∵點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB= =5,
∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△A′BO′,
∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′為等腰直角三角形,
∴AA′= BA=5
(2)
解:作O′H⊥y軸于H,如圖②,
∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°,
∴∠HBO′=60°,
在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°,
∴BH= BO′= ,O′H= BH= ,
∴OH=OB+BH=3+ = ,
∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為( , )
(3)
解:∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得△A′BO′,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′,
∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP,
作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C,連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn),如圖②,
則O′P+BP=O′P+PC=O′C,此時(shí)O′P+BP的值最小,
∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱,
∴C(0,﹣3),
設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b,
把O′( , ),C(0,﹣3)代入得 ,解得 ,
∴直線O′C的解析式為y= x﹣3,
當(dāng)y=0時(shí), x﹣3=0,解得x= ,則P( ,0),
∴OP= ,
∴O′P′=OP= ,
作P′D⊥O′H于D,
∵∠BO′A=∠BOA=90°,∠BO′H=30°,
∴∠DP′O′=30°,
∴O′D= O′P′= ,P′D= O′D= ,
∴DH=O′H﹣O′D= ﹣ = ,
∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為( , )
【解析】本題考查了幾何變換綜合題:熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì);會利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題;記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.(1)如圖①,先利用勾股定理計(jì)算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA′,∠ABA′=90°,則可判定△ABA′為等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA′的長;(2)作O′H⊥y軸于H,如圖②,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,則∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BH和O′H的長,然后利用坐標(biāo)的表示方法寫出O′點(diǎn)的坐標(biāo);(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′,則O′P+BP′=O′P+BP,作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C,連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn),如圖②,易得O′P+BP=O′C,利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)O′P+BP的值最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y= x﹣3,從而得到P( ,0),則O′P′=OP= ,作P′D⊥O′H于D,然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出P′D和DO′的長,從而可得到P′點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線段的基本性質(zhì)和含30度角的直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握線段公理:所有連接兩點(diǎn)的線中,線段最短.也可簡單說成:兩點(diǎn)之間線段最短;連接兩點(diǎn)的線段的長度,叫做這兩點(diǎn)的距離;線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的;在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)若∠ABC的平分線分別交AD,AC于P,Q兩點(diǎn),證明:AP=AQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P在BC邊上,直線l1:y=2x+3,直線l2:y=2x﹣3.
(1)分別求直線l1與x軸,直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)M在第一象限,且是直線l2上的點(diǎn),若△APM是等腰直角三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)我們把直線l1和直線l2上的點(diǎn)所組成的圖形為圖形F.已知矩形ANPQ的頂點(diǎn)N在圖形F上,Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,請直接寫出x的取值范圍(不用說明理由).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問題:“通過探究知道: ≈1.414…,它是個(gè)無限不循環(huán)小數(shù),也叫無理數(shù),它的整數(shù)部分是1,那么有誰能說出它的小數(shù)部分是多少”,小明舉手回答:它的小數(shù)部分我們無法全部寫出來,但可以用﹣1來表示它的小數(shù)部分,張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明,肯定了他的說法.現(xiàn)請你根據(jù)小明的說法解答:
(1)的小數(shù)部分是a, 的整數(shù)部分是b,求a+b﹣的值.
(2)已知8+=x+y,其中x是一個(gè)整數(shù),0<y<1,求3x+(y﹣)2018的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為4,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與∠BOC互補(bǔ),則弦BC的長為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校開展課外體育活動(dòng),決定開設(shè)A:籃球、B:乒乓球、C:武術(shù)、D:跑步四種活動(dòng)項(xiàng)目為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目每人只選取一種隨機(jī)抽取了m名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪成如下統(tǒng)計(jì)圖,請你結(jié)合圖中信息解答下列問題:
______;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為______;
請把圖的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
若該校有學(xué)生1200人,請你估計(jì)該校最喜歡武術(shù)的學(xué)生人數(shù)約是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊鐵片邊緣是由拋物線和線段AB組成,測得AB=20cm,拋物線的頂點(diǎn)到AB邊的距離為25cm.現(xiàn)要沿AB邊向上依次截取寬度均為4cm的矩形鐵皮,從下往上依次是第一塊,第二塊…如圖所示.已知截得的鐵皮中有一塊是正方形,則這塊正方形鐵皮是第塊.
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