【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與直線交于A1,1),B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,直線與軸交于點(diǎn)D

(1)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)若在軸上有且只有一點(diǎn)P,使∠APB=90°,求的值;

(3)設(shè)直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F,G是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn),若,且BCGBCD的面積相等,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

【答案】(1)對(duì)稱軸是x=2.5 , C的坐標(biāo)為(0,5);(2k=;(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3,-1)或(

【解析】

1)根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求出對(duì)稱軸,根據(jù)常數(shù)項(xiàng)可得C點(diǎn)坐標(biāo);

2)過(guò)點(diǎn)AAKx軸于點(diǎn)K,過(guò)BBRx軸于點(diǎn)R,設(shè)Bp,q),通過(guò)AKP∽△PRB得到q=,然后根據(jù)q=p-5p+5可解得p1=2(舍去),p2=4,然后用待定系數(shù)法可求出k的值;

3)過(guò)點(diǎn)AAM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)BBN⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)N,構(gòu)造相似三角形求出B的坐標(biāo),從而得到直線AB與直線BD的解析式,求出點(diǎn)D坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D′,則 D′0,),所以點(diǎn)G在過(guò)點(diǎn)DD′,平行線于BC的直線上,然后聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式即可求出符合題意的點(diǎn)G坐標(biāo)

解:(1)對(duì)稱軸是x=2.5

C的坐標(biāo)為(0,5

2)∵在x軸上有且僅有一點(diǎn)P,使∠APB=90,

∴以AB為直徑的圓與x軸相切,取AB中點(diǎn)Q,作QPx軸,垂足為P,

過(guò)點(diǎn)AAKx軸于點(diǎn)K,過(guò)BBRx軸于點(diǎn)R,構(gòu)造三垂直模型

設(shè)Bp,q),則Q,),

P0),K10),Rp0),

AKP∽△PRBAKRP=KPBR,

1∶(p-=(-1)q,

化簡(jiǎn),得:q=

2= p-5p+5,

解得:p1=2p2=4;

當(dāng)p=2時(shí),q=1,k0,與題中條件k0矛盾,

B4,),代入直線l解析式:/p>

4k+m=;

又直線l過(guò)A1,1),

k+m=1,

聯(lián)立方程組,解得:k=;

3)過(guò)點(diǎn)AAM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)BBN⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)N,

AFFB=3:4,∴AMBN=34,

AM=-1=

BN=2,即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+=;

B的縱坐標(biāo)為:(-5×+5=,

B);

AB坐標(biāo)代入l解析式:

k+m=1;

+m=

解得:k=,m=,

D0,);

∴直線BC解析式為:+5

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D′,則 D′0,

∵△BCDBCG有公共邊BC,

∴點(diǎn)G在過(guò)點(diǎn)DD′,平行線于BC的直線上,

分別作DG1BCD′G2BC,G1、G2在拋物線上

DG 1解析式:y=+,與y= x-5x+5聯(lián)立,

解得:x1=,x2=3

G在對(duì)稱軸右側(cè),

x=3,y=-1,

G13,-1);

D′G2解析式:y=+,與y= x-5x+5聯(lián)立,

解得:x1=,x2=(舍去),

x=,y=

G2,,

綜上所述,點(diǎn)G的坐標(biāo)為:(3,-1);或(,

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